Digital-signal-processing-dsp-discrete-fourier-transform-solved-examples

DSP-DFT解決例

例1

シーケンス$ x（n）= \ frac \ {1 ^ n} \ {4} u（n）$のParsevalの定理を検証する

ソリューション-$ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 = \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} | X_1（e ^ \ {j \ omega}）| ^ 2d \ omega $

L.H.S $ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 $

$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）x ^ *（n）$

$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty（\ frac \ {1} \ {4}）^ \ {2n} u（n）= \ frac \ {1} \ {1- \ frac \ {1} \ {16}} = \ frac \ {16} \ {15} $

R.H.S. $ X（e ^ \ {j \ omega}）= \ frac \ {1} \ {1- \ frac \ {1} \ {4} ej \ omega} = \ frac \ {1} \ {1-0.25 \ cos \ omega + j0.25 \ sin \ omega} $

$ \ Longleftrightarrow X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）= \ frac \ {1} \ {1-0.25 \ cos \ omega-j0.25 \ sin \ omega} $

計算、$ X（e ^ \ {j \ omega}）。X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）$

$ = \ frac \ {1} \ {（1-0.25 \ cos \ omega）^ 2 +（0.25 \ sin \ omega）^ 2} = \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} $

$ \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega $

$ \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega = 16/15 $

LHS = RHSであることがわかります（したがって、証明されています）。

例2

$ x（n）= 3 \ delta（n）$のN点DFTを計算します

ソリューション-私たちはそれを知っています、

$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $

$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} 3 \ delta（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $

$ = 3 \ delta（0）\ times e ^ 0 = 1 $

したがって、$ x（k）= 3,0 \ leq k \ leq N-1 $…

実施例３

$ x（n）= 7（n-n_0）$のN点DFTを計算します

ソリューション-私たちはそれを知っています、

$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $

x（n）の値を代入して、

$ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} 7 \ delta（n-n_0）e ^ \ {-\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $

$ = e ^ \ {-kj14 \ Pi kn_0/N} $…Ans