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DSP-DFT線形フィルタリング

DFTは、時間領域の畳み込みに対する代替アプローチを提供します。 周波数領域で線形フィルタリングを実行するために使用できます。

したがって、$ Y（\ omega）= X（\ omega）.H（\ omega）\ longleftrightarrow y（n）$です。

この周波数領域アプローチの問題は、$ Y（\ omega）$、$ X（\ omega）$、および$ H（\ omega）$がωの連続関数であることです。これはコンピューターでのデジタル計算には有益ではありません。 ただし、DFTは、目的を解決するために、これらの波形のサンプルバージョンを提供します。

利点は、FFTのようなより高速なDFT技術の知識があるため、時間領域アプローチと比較して、デジタルコンピューター計算用の計算効率の高いアルゴリズムを開発できることです。

有限持続時間シーケンス$ [x（n）= 0、\ quad for、n <0 \ quad and \ quad n \ geq L] $（一般化方程式）を考えて、インパルス応答$ [h（n ）= 0、\ quad forn <0 \ quad and \ quad n \ geq M] $。

畳み込み解析から、y（n）の継続時間がL + M-1であることが明らかです。

周波数領域では、

ここで、$ Y（\ omega）$はωの連続関数であり、$ L + M-1 $以上である必要がある個別のサンプル数で、一連の離散周波数でサンプリングされます。

$ \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $の場合、

$ Y（\ omega）= X（k）.H（k）$、ここでk = 0,1、…。、N-1

ここで、X（k）とH（k）は、それぞれx（n）とh（n）のN点DFTです。 $ x（n）\＆h（n）$には、長さNまでゼロが埋め込まれます。 連続スペクトル$ X（\ omega）$および$ H（\ omega）$は歪みません。 $ N \ geq L + M-1 $なので、出力シーケンスy（n）のN点DFTは周波数領域でy（n）を表すのに十分であり、これらの事実はX（kのN点DFTの乗算）およびH（k）、それに続くN点IDFTの計算では、y（n）が生成されます。

これは、ゼロパディングを使用したx（n）およびH（n）のN点循環たたみ込みは、x（n）およびh（n）の線形たたみ込みに等しいことを意味します。

したがって、DFTは線形フィルタリングに使用できます。

注意-Nは常に$ L + M-1 $以上でなければなりません。 そうしないと、エイリアシング効果により出力シーケンスが破損します。