Digital-signal-processing-dsp-discrete-fourier-transform-introduction

デジタル信号処理-DFTの概要

連続時間信号フーリエ変換と同様に、離散時間フーリエ変換を使用して、離散シーケンスを等価な周波数領域表現とLTI離散時間システムに表現し、さまざまな計算アルゴリズムを開発できます。

連続F.TのX（jω）は、x（n）の連続関数です。 ただし、DFTはそのスペクトルX（ω）のサンプルでx（n）を表すことを扱います。 したがって、この数学的ツールは、便利な表現において計算上非常に重要です。 このツールを使用して、周期的シーケンスと非周期的シーケンスの両方を処理できます。 周期を無限に拡張して、周期シーケンスをサンプリングする必要があります。

周波数領域サンプリング

導入から、周波数領域サンプリングをどのように進めるかを知る必要があることは明らかです。 サンプリングX（ω）。 したがって、サンプリングされたフーリエ変換とDFTの関係は、次の方法で確立されます。

同様に、周期Nを無限に拡張することにより、周期シーケンスをこのツールに適合させることができます。

非周期シーケンスを$ X（n）= \ lim _ \ {N \ to \ infty} x_N（n）$とする

フーリエ変換の定義、

$ X（\ omega）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-jwn} X（K \ delta \ omega）$ …​ eq（1）

ここで、X（ω）は、δωラジアン間隔ごとに定期的にサンプリングされます。

X（ω）は2πラジアンで周期的であるため、基本的な範囲のサンプルのみが必要です。 サンプルは、周波数範囲0≤ω≤2πの等距離間隔の後に取得されます。 等間隔の間隔は、$ \ delta \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $ラジアンです。

評価中、$ \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $

$ X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N}、$ ..eq（2）

ここで、k = 0,1、……N-1

上記を細分化し、合計の順序を交換した後

$ X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）] e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ …​ eq（3）

$ \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）= x_p（n）= a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} C_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} $

ここで、n = 0,1、……​、N-1; 「p」-周期的なエンティティまたは機能を表します

フーリエ係数は、

$ C_k = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x_p（n）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ k = 0,1 、…、N-1 …​ eq（4）

方程式3と4を比較すると、

$ NC_k = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）$ k = 0,1、…、N-1 …​ eq（5）

$ NC_k = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= X（e ^ \ {jw}）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_p（n ）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ …​ eq（6）

フーリエ級数展開から、

$ x_p（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）e ^ \ {j2 \ pi nk/N} $ …​ eq（7）

ここで、n = 0,1、…、N-1

ここでは、X（ω）から周期信号を取得しました。 $ x（n）$は、時間領域にエイリアスがない場合にのみ、$ x_p（n）$から抽出できます。 $ N \ geq L $

N = $ x_p（n）$の期間L = $ x（n）$の期間

$ x（n）= \ begin \ {cases} x_p（n）、＆0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0、およびその他の場合\ end \ {cases} $

この方法でマッピングが実現されます。

DFTのプロパティ

直線性

信号の組み合わせのDFTは、個々の信号のDFTの合計に等しいと述べています。 DFTがそれぞれX〜1〜（ω）およびX〜2〜（ω）である2つの信号x〜1〜（n）およびx〜2〜（n）を取ります。 もしそうなら、

$ x_1（n）\ rightarrow X_1（\ omega）$ and $ x_2（n）\ rightarrow X_2（\ omega）$

次に、$ ax_1（n）+ bx_2（n）\ rightarrow aX_1（\ omega）+ bX_2（\ omega）$

ここで、 a および b は定数です。

対称

DFTの対称性は、DTFT対称性を導出したのと同様の方法で導出できます。 シーケンスx（n）のDFTはX（K）で表されることがわかっています。 ここで、x（n）とX（K）が複素数値シーケンスである場合、次のように表すことができます

$ x（n）= x_R（n）+ jx_1（n）、0 \ leq n \ leq N-1 $

そして、$ X（K）= X_R（K）+ jX_1（K）、0 \ leq K \ leq N-1 $

双対性

DFTがX（K）として与えられる信号x（n）を考えてみましょう。 有限期間シーケンスをX（N）とします。 双対定理によると、

もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$

次に、$ X（N）\ longleftrightarrow Nx [（（-k））_ N] $

したがって、DFTがわかっている場合にこの定理を使用すると、有限期間のシーケンスを簡単に見つけることができます。

複雑な共役特性

信号x（n）があり、そのDFTはX（K）としても知られているとします。 ここで、信号の複素共役がx *（n）として与えられる場合、以下に示す定理を使用することにより、多くの計算を行うことなくDFTを簡単に見つけることができます。

もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$

次に、$ x *（n）\ longleftrightarrow X *（（K））_ N = X *（N-K）$

循環周波数シフト

シーケンスx（n）と複素指数シーケンス$ e ^ \ {j2 \ Pi kn/N} $との乗算は、周波数でL単位だけDFTの循環シフトに相当します。 これは、循環時間シフトプロパティのデュアルです。

もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$

次に、$ x（n）e ^ \ {j2 \ Pi Kn/N} \ longleftrightarrow X（（K-L））_ N $

2つのシーケンスの乗算

2つの信号x〜1〜（n）とx〜2〜（n）があり、それぞれのDFTがX〜1〜（k）とX〜2〜（K）である場合、時系列の信号の乗算はDFTの循環たたみ込み。

もし、$ x_1（n）\ longleftrightarrow X_1（K）\ quad \＆\ quad x_2（n）\ longleftrightarrow X_2（K）$

次に、$ x_1（n）\ times x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（K）©X_2（K）$

パーセバルの定理

複素数値シーケンスx（n）およびy（n）の場合、一般的に

If、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）\ quad \＆\ quad y（n）\ longleftrightarrow Y（K）$

次に、$ \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ { N-1} X（K）Y ^ *（K）$