Digital-circuits-two-level-logic-realization
デジタル回路-2レベルロジックの実現
入力と出力の間に存在するレベルの最大数は、* 2レベルロジック*で2です。 つまり、論理ゲートの合計数に関係なく、任意の入力と出力の間に存在する（カスケードされる）論理ゲートの最大数は2レベルの論理で2つです。 ここで、第1レベルの論理ゲートの出力は、第2レベルの論理ゲートの入力として接続されています。
4つの論理ゲートAND、OR、NAND、NORを考えます。 4つの論理ゲートがあるため、2レベルの論理を実現する16の可能な方法が得られます。 AND-AND、AND-OR、ANDNAND、AND-NOR、OR-AND、OR-OR、OR-NAND、OR-NOR、NAND-AND、NAND-OR、NANDNAND、NAND-NOR、NOR-AND、 NOR-OR、NOR-NAND、NOR-NOR。
これらの2つのレベルのロジック実現は、次の2つのカテゴリに分類できます。
- 変性形態
- 非変性形態
変性形態
単一の論理ゲートを使用して2レベルの論理実現の出力を取得できる場合、それは*変性型*と呼ばれます。 明らかに、単一の論理ゲートの入力数が増加します。 このため、論理ゲートのファンインが増加します。 これは、変性形態の利点です。
16の組み合わせのうち、2レベルのロジックを実現する* 6の組み合わせ*のみが縮退形式になります。 それらは、AND-AND、AND-NAND、OR-OR、OR-NOR、NAND-NOR、NORNANDです。
このセクションでは、いくつかの実現について説明します。 A、B、C、Dが入力で、Yが各論理実現の出力であると仮定します。
AND-ANDロジック
この論理実現では、ANDゲートが両方のレベルに存在します。 以下の図は、* AND-ANDロジック*の実現例を示しています。
$ Y _ \ {1} = AB $および$ Y _ \ {2} = CD $として第1レベルの論理ゲートの出力を取得します
これらの出力、$ Y _ \ {1} $および$ Y _ \ {2} $は、第2レベルに存在するANDゲートの入力として適用されます。 したがって、このANDゲートの出力は
Y = Y _ \ {1} Y _ \ {2}
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます。
Y = \ left（AB \ right）\ left（CD \ right）
$ \ Rightarrow Y = ABCD $
したがって、このAND-AND論理実現の出力は ABCD です。 このブール関数は、4入力ANDゲートを使用して実装できます。 したがって、それは*変性型*です。
AND-NANDロジック
この論理実現では、ANDゲートが第1レベルに存在し、NANDゲートが第2レベルに存在します。 次の図は、* AND-NANDロジック*実現の例を示しています。
以前は、第1レベルの論理ゲートの出力は、$ Y _ \ {1} = AB $および$ Y _ \ {2} = CD $でした。
これらの出力、$ Y _ \ {1} $および$ Y _ \ {2} $は、第2レベルに存在するNANDゲートの入力として適用されます。 したがって、このNANDゲートの出力は
Y = \ {\ left（Y _ \ {1} Y _ \ {2} \ right）} '
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます。
Y = \ {\ left（\ left（AB \ right）\ left（CD \ right）\ right）} '
$ \ Rightarrow Y = \ {\ left（ABCD \ right）} '$
したがって、このAND-NAND論理実現の出力は$ \ {\ left（ABCD \ right）} '$です。 このブール関数は、4入力NANDゲートを使用して実装できます。 したがって、それは*変性型*です。
OR-ORロジック
この論理実現では、ORゲートが両方のレベルに存在します。 次の図は、* OR-ORロジック*実現の例を示しています。
$ Y _ \ {1} = A + B $および$ Y _ \ {2} = C + D $として第1レベルの論理ゲートの出力を取得します。
これらの出力、$ Y _ \ {1} $および$ Y _ \ {2} $は、第2レベルに存在するORゲートの入力として適用されます。 したがって、このORゲートの出力は
Y = Y _ \ {1} + Y _ \ {2}
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます。
Y = \ left（A + B \ right）+ \ left（C + D \ right）
$ \ Rightarrow Y = A + B + C + D $
したがって、このOR-OR論理実現の出力は A + B + C + D です。 このブール関数は、4入力ORゲートを使用して実装できます。 したがって、それは*変性型*です。
同様に、残りの実現がこのカテゴリに属するかどうかを確認できます。
非変性形態
単一の論理ゲートを使用しても2レベルの論理実現の出力を取得できない場合、それは*非変性形式*と呼ばれます。
2レベルのロジック実現の残りの* 10の組み合わせ*は、非変性形式になります。 これらは、AND-OR、AND-NOR、OR-AND、OR-NAND、NAND-AND、NANDOR、NAND-NAND、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NORです。
次に、いくつかの実現について説明します。 A、B、C、Dが入力で、Yが各論理実現の出力であると仮定します。
AND-ORロジック
この論理実現では、ANDゲートが第1レベルに存在し、ORゲートが第2レベルに存在します。 以下の図は、* AND-ORロジック*の実現例を示しています。
以前は、第1レベルの論理ゲートの出力は、$ Y _ \ {1} = AB $および$ Y _ \ {2} = CD $でした。
これらの出力Y1およびY2は、第2レベルに存在するORゲートの入力として適用されます。 したがって、このORゲートの出力は
Y = Y _ \ {1} + Y _ \ {2}
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます
Y = AB + CD
したがって、このAND-OR論理実現の出力は AB + CD です。 このブール関数は Sum of Products 形式です。 単一の論理ゲートを使用して実装することはできないため、このAND-OR論理の実現は*非変性形式*です。
AND-NORロジック
この論理実現では、ANDゲートが第1レベルに存在し、NORゲートが第2レベルに存在します。 次の図は、* AND-NORロジック*実現の例を示しています。
$ Y _ \ {1} = AB $および$ Y _ \ {2} = CD $として、第1レベルの論理ゲートの出力を知っています。
これらの出力Y1およびY2は、第2レベルにあるNORゲートの入力として適用されます。 したがって、このNORゲートの出力は
Y = \ {\ left（Y _ \ {1} + Y _ \ {2} \ right）} '
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます。
Y = \ {\ left（AB + CD \ right）} '
したがって、このAND-NOR論理実現の出力は$ \ {\ left（AB + CD \ right）} '$です。 このブール関数は AND-OR-Invert 形式です。 単一の論理ゲートを使用して実装することはできないため、このAND-NOR論理実現は*非変性形式*です
OR-ANDロジック
この論理実現では、ORゲートは第1レベルに存在し、ANDゲートは第2レベルに存在します。 次の図は、* OR-ANDロジック*実現の例を示しています。
以前は、第1レベルの論理ゲートの出力は$ Y _ \ {1} = A + B $および$ Y _ \ {2} = C + D $でした。
これらの出力、$ Y _ \ {1} $および$ Y _ \ {2} $は、第2レベルに存在するANDゲートの入力として適用されます。 したがって、このANDゲートの出力は
Y = Y _ \ {1} Y _ \ {2}
上記の式で$ Y _ \ {1} $と$ Y _ \ {2} $の値を置き換えます。
Y = \ left（A + B \ right）\ left（C + D \ right）
したがって、このOR-AND論理実現の出力は*（A + B）（C + D）*です。 このブール関数は、*積の形式*です。 単一の論理ゲートを使用して実装することはできないため、このOR-AND論理実現は*非変性形式*です。
同様に、残りの実現がこのカテゴリに属するかどうかを確認できます。
