Digital-circuits-canonical-standard-forms
デジタル回路-標準形式および標準形式
2つの変数xとyを論理AND演算で組み合わせることにより、4つのブール積項を取得します。 これらのブール積条件は、*最小条件*または*標準製品条件*と呼ばれます。 最小用語はx’y '、x’y、xy'、xyです。
同様に、2つの変数xとyを論理OR演算で組み合わせることにより、4つのブール和項を取得します。 これらのブール和項は、*最大項*または*標準和項*と呼ばれます。 最大の用語はx + y、x + y ’、x’ + yおよびx ’+ y’です。
次の表は、2つの変数の最小項と最大項の表現を示しています。
| x | y | Min terms | Max terms |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m0=x’y’ | M0=x + y |
| 0 | 1 | m1=x’y | M1=x + y’ |
| 1 | 0 | m2=xy’ | M2=x’ + y |
| 1 | 1 | m3=xy | M3=x’ + y’ |
バイナリ変数が「0」の場合、最小項では変数の補数として、最大項では変数自体として表されます。 同様に、バイナリ変数が「1」の場合、最大項では変数の補数として、最小項では変数自体として表されます。
上記の表から、最小項と最大項が互いに補完していることが簡単にわかります。 「n」のブール変数がある場合、2 ^ n ^の最小項と2 ^ n ^の最大項があります。
Canonical SoPおよびPoSフォーム
真理値表は、入力と出力のセットで構成されています。 「n」個の入力変数がある場合、ゼロと1の2 ^ n ^の可能な組み合わせがあります。 したがって、各出力変数の値は、入力変数の組み合わせに依存します。 そのため、各出力変数には、入力変数のいくつかの組み合わせに対して「1」、他の入力変数のいくつかの組み合わせに対して「0」があります。
したがって、次の2つの方法で各出力変数を表現できます。
- Canonical SoPフォーム
- 正規のPoSフォーム
Canonical SoPフォーム
Canonical SoPフォームは、Canonical Sum of Productsフォームを意味します。 この形式では、各製品用語にはすべてのリテラルが含まれます。 したがって、これらの製品用語は最小用語にすぎません。 したがって、標準的なSoP形式は sum of min terms 形式とも呼ばれます。
まず、出力変数が1である最小項を特定し、次にその出力変数に対応するブール式（関数）を取得するためにそれらの最小項の論理ORを実行します。 このブール関数は、最小項の合計の形式になります。
複数の出力変数がある場合、他の出力変数についても同じ手順に従います。
例
次の*真理値表*を検討してください。
入力
出力
p
q
r
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
ここでは、出力（f）は入力の4つの組み合わせに対して「1」です。 対応する最小用語はp’qr、pq’r、pqr ’、pqrです。 これらの4つの最小項の論理ORを実行することにより、出力（f）のブール関数を取得します。
したがって、出力のブール関数は、f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqrです。 これは、出力の*標準SoP形式*です。 この関数は、次の2つの表記法でも表すことができます。
f = m _ \ {3} + m _ \ {5} + m _ \ {6} + m _ \ {7}
f = \ sum m \ left（3,5,6,7 \ right）
1つの方程式では、関数をそれぞれの最小項の合計として表しています。 他の方程式では、これらの最小項の合計にシンボルを使用しました。
正規のPoSフォーム
Canonical PoSフォームは、Canonical Product of Sumsフォームを意味します。 この形式では、各合計項にはすべてのリテラルが含まれます。 したがって、これらの合計項は最大項にすぎません。 したがって、正規のPoSフォームは、* Maxタームの積*フォームとも呼ばれます。
最初に、出力変数がゼロであるMax項を識別し、次にその出力変数に対応するブール式（関数）を取得するためにそれらのMax項の論理ANDを実行します。 このブール関数は、Max項の積の形式になります。
複数の出力変数がある場合、他の出力変数についても同じ手順に従います。
例
前の例と同じ真理値表を検討してください。 ここでは、出力の4つの組み合わせの出力（f）は「0」です。 対応する最大項は、p + q + r、p + q + r ’、p + q’ + r、p ’+ q + rです。 これら4つのMax項の論理ANDを実行することにより、出力（f）のブール関数を取得します。
したがって、出力のブール関数は、f =（p + q + r）。（p + q + r ’）。（p + q’ + r）。（p ’+ q + r）です。 これは、出力の*標準PoS形式*です。 この関数は、次の2つの表記法でも表すことができます。
f = M _ \ {0} .M _ \ {1} .M _ \ {2} .M _ \ {4}
f = \ prod M \ left（0,1,2,4 \ right）
1つの方程式では、関数をそれぞれの最大項の積として表しています。 他の方程式では、これらの最大項の乗算にシンボルを使用しました。
ブール関数、f =（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）はブール関数の双対、f = p’qr + pq’r + pqr '+ pqr。
したがって、標準的なSoPと標準的なPoSの両方のフォームは、互いに*デュアル*です。 機能的には、これら2つの形式は同じです。 要件に基づいて、これら2つの形式のいずれかを使用できます。
標準のSoPおよびPoSフォーム
ブール出力を表す2つの標準形式について説明しました。 同様に、ブール出力を表す2つの標準形式があります。 これらは、標準形式の簡易バージョンです。
- 標準SoPフォーム
- 標準PoSフォーム
論理ゲートについては、後の章で説明します。 標準形式の主な*利点*は、論理ゲートに適用される入力の数を最小限にできることです。 場合によっては、必要な論理ゲートの総数が減少することがあります。
標準SoPフォーム
標準SoPフォームは、 Standard Sum of Products フォームを意味します。 この形式では、各製品用語にすべてのリテラルを含める必要はありません。 したがって、製品条件は最小条件である場合とそうでない場合があります。 したがって、標準SoP形式は、標準的なSoP形式の簡略化された形式です。
2段階で出力変数の標準SoP形式を取得します。
- 出力変数の標準的なSoP形式を取得する
- 正規のSoP形式の上記のブール関数を単純化します。
複数の出力変数がある場合、他の出力変数についても同じ手順に従います。 場合によっては、標準的なSoP形式を単純化できないことがあります。 その場合、標準と標準の両方のSoP形式は同じです。
例
次のブール関数を標準SoP形式に変換します。
f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr
指定されたブール関数は、標準的なSoP形式です。 次に、標準のSoP形式を取得するために、このブール関数を単純化する必要があります。
ステップ1 *-*ブール式、x + x = xを使用します。 つまり、ブール変数を「n」回使用した論理OR演算は、同じ変数に等しくなります。 したがって、最後の項pqrをさらに2回書くことができます。
⇒f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr + pqr + pqr
- ステップ2 *-1 ^ st ^と4 ^ th ^の項、2 ^ nd ^と5 ^ th ^の項、3 ^ rd ^と6 ^ th ^の項に*分布則*を使用します。
⇒f = qr（p´+ p）+ pr（q´+ q）+ pq（r´+ r）
ステップ3 *-各括弧内に存在する用語を簡略化するために、 *Boolean postulate 、x + x ’= 1を使用
⇒f = qr（1）+ pr（1）+ pq（1）
ステップ4 *-上記の3つの用語を単純化するために *Boolean postulate 、x.1 = xを使用します。
⇒f = qr + pr + pq
⇒f = pq + qr + pr
これは単純化されたブール関数です。 したがって、指定された標準SoP形式に対応する*標準SoP形式*は、 f = pq + qr + pr です。
標準PoSフォーム
標準PoSフォームは、 Standard Product of Sums フォームを意味します。 この形式では、各合計項にすべてのリテラルを含める必要はありません。 したがって、合計項は最大項である場合とそうでない場合があります。 したがって、標準PoSフォームは、標準的なPoSフォームの簡略化されたフォームです。
2段階で出力変数の標準PoS形式を取得します。
- 出力変数の標準的なPoS形式を取得する
- 標準的なPoS形式の上記のブール関数を単純化します。
複数の出力変数がある場合、他の出力変数についても同じ手順に従います。 場合によっては、標準のPoSフォームを単純化できないことがあります。 その場合、標準PoSフォームと標準PoSフォームは同じです。
例
次のブール関数を標準PoS形式に変換します。
f =（p + q + r）。（p + q + r ’）。（p + q’ + r）。（p ’+ q + r）
指定されたブール関数は、標準のPoS形式です。 次に、標準のPoSフォームを取得するために、このブール関数を単純化する必要があります。
ステップ1 *- *Boolean postulate 、x.x = xを使用します。 つまり、ブール変数を「n」回使用した論理AND演算は、同じ変数に等しくなります。 したがって、最初の項p + q + rをさらに2回書くことができます。
⇒f =（p + q + r）。（p + q + r）。（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）
ステップ2 *-*分布法則、 x +（yz）=（x + y）。（x + z）を使用して、1 ^ st ^および4 ^ th ^括弧、2 ^ nd ^および5 ^ th ^括弧、3 ^ rd ^および6 ^ th ^括弧。
⇒f =（p + q + rr ’）。（p + r + qq’）。（q + r + pp ’）
ステップ3 *-各括弧内に存在する用語を簡略化するために *Boolean postulate 、x.x ’= 0を使用します。
⇒f =（p + q + 0）。（p + r + 0）。（q + r + 0）
ステップ4 *-各括弧内に存在する用語を単純化するために *Boolean postulate 、x + 0 = xを使用する
⇒f =（p + q）。（p + r）。（q + r）
⇒f =（p + q）。（q + r）。（p + r）
これは単純化されたブール関数です。 したがって、特定の標準PoSフォームに対応する*標準PoSフォーム*は、* f =（p + q）。（q + r）。（p + r）です。 これはブール関数の *dual 、f = pq + qr + prです。
したがって、標準SoPと標準PoSの両方のフォームは互いにデュアルです。
