デジタル回路-ブール代数

ブール代数*は、2進数と2進変数を扱う代数です。したがって、バイナリ代数または論理代数とも呼ばれます。ジョージブールという数学者が1854年にこの代数を開発しました。この代数で使用される変数は、ブール変数とも呼ばれます。

ロジック「High」に対応する電圧の範囲は「1」で表され、ロジック「Low」に対応する電圧の範囲は「0」で表されます。

ブール代数の仮定と基本法則

このセクションでは、ブール代数で使用されるブール仮説と基本法則について説明します。これらはブール関数を最小化するのに役立ちます。

ブール仮説

2進数の0と1、ブール変数（x）、およびその補数（x ’）を考えます。ブール変数またはその補数は*リテラル*として知られています。これらのリテラルと2進数の間で可能な4つの*論理OR *操作を以下に示します。

x 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x ’= 1

同様に、これらのリテラルと2進数の間で可能な4つの*論理AND *演算を以下に示します。

x.1 = x

x.0 = 0

x.x = x

x.x ’= 0

これらは、単純なブール仮説です。ブール変数を「0」または「1」に置き換えることで、これらの仮定を簡単に検証できます。

注-ブール変数の補数の補数は、変数自体に等しくなります。つまり、（x ’）’ = x。

ブール代数の基本法則

以下は、ブール代数の3つの基本法則です。

可換法
連想法
分配法

可換法

2つのブール変数の論理演算が、これら2つの変数の順序に関係なく同じ結果を与える場合、その論理演算は*可換*と呼ばれます。 2つのブール変数xおよびyの論理ORおよび論理AND演算を以下に示します

x + y = y + x

x.y = y.x

記号「+」は、論理和演算を示します。同様に、記号「。」は論理AND演算を示し、表すのはオプションです。可換法則は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

連想法

任意の2つのブール変数の論理演算が最初に実行され、残りの変数で同じ演算が実行されて同じ結果が得られる場合、その論理演算は*結合*と呼ばれます。 3つのブール変数x、yおよびzの論理ORおよび論理AND演算を以下に示します。

x （y + z）=（x + y） z

x。（y.z）=（x.y）.z

連想法は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

分配法

ブール関数に存在するすべての用語に論理演算を分散できる場合、その論理演算は Distributive と呼ばれます。 3つのブール変数x、yおよびzの論理ORおよび論理AND演算の分布を以下に示します。

x。（y + z）= x.y + x.z

x +（y.z）=（x + y）。（x + z）

分配法は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

これらはブール代数の基本法則です。ブール変数を「0」または「1」に置き換えることで、これらの法則を簡単に検証できます。

ブール代数の定理

ブール代数では次の2つの定理が使用されます。

双対定理
デモルガンの定理

双対定理

この定理は、ブール関数の dual は、論理AND演算子を論理OR演算子と交換し、ゼロを1と交換することによって得られることを示しています。ブール関数ごとに、対応するデュアル関数があります。

ブール仮説と基本法則のセクションで説明したブール方程式（関係）を2つのグループに分けましょう。次の表に、これら2つのグループを示します。

Group1	Group2
x + 0 = x	x.1 = x
x + 1 = 1	x.0 = 0
x + x = x	x.x = x
x + x’ = 1	x.x’ = 0
x + y = y + x	x.y = y.x
x + (y + z) = (x + y) + z	x.(y.z) = (x.y).z
x.(y + z) = x.y + x.z	x + (y.z) = (x + y).(x + z)

各行には2つのブール方程式があり、それらは互いに双対です。双対定理を使用して、Group1とGroup2のこれらすべてのブール方程式を検証できます。

デモルガンの定理

この定理は、*ブール関数の補数*を見つけるのに役立ちます。これは、少なくとも2つのブール変数の論理ORの補数が、各補変数の論理ANDと等しいことを示しています。

2つのブール変数xとyを含むDeMorganの定理は、

（x + y） ’= x’.y’

上記のブール関数の双対は

（x.y） ’= x’ + y ’

したがって、2つのブール変数の論理ANDの補数は、各補変数の論理ORと等しくなります。同様に、2つ以上のブール変数にもDeMorganの定理を適用できます。

ブール関数の簡素化

ここまで、ブール代数の仮定、基本法則、定理について説明しました。次に、いくつかのブール関数を単純化します。

例1

ブール関数を*単純化*しましょう。f= p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr

この関数は2つの方法で単純化できます。

方法1 *

ブール関数を指定すると、f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr。

ステップ1 *-第1項と第2項ではrが共通であり、第3項と第4項ではpqが共通です。したがって、*分配法*を使用して一般的な用語を使用します。

⇒f =（p’q + pq ’）r + pq（r’ + r）

ステップ2 *-最初の括弧内の用語は、Ex-OR操作に簡略化できます。 2番目の括弧内にある用語は、 *Boolean postulate を使用して「1」に簡略化できます。

⇒f =（p⊕q）r + pq（1）

ステップ3 *-最初の用語はこれ以上簡略化できません。ただし、2番目の項は *Boolean postulate を使用してpqに簡略化できます。

⇒f =（p⊕q）r + pq

したがって、単純化されたブール関数は f =（p⊕q）r + pq です

方法2 *

与えられたブール関数、f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr。

ステップ1 *-*ブール式、x + x = xを使用します。つまり、ブール変数を「n」回使用した論理OR演算は、同じ変数に等しくなります。したがって、最後の項pqrをさらに2回書くことができます。

⇒f = p’qr + pq’r + pqr ’+ pqr + pqr + pqr

ステップ2 *-1 ^ st ^と4 ^ th ^の項、2 ^ nd ^と5 ^ th ^の項、3 ^ rd ^と6 ^ th ^の項に*分布則*を使用します。

⇒f = qr（p´+ p）+ pr（q´+ q）+ pq（r´+ r）

ステップ3 *-各括弧内に存在する用語を簡略化するために、 *Boolean postulate 、x + x ’= 1を使用

⇒f = qr（1）+ pr（1）+ pq（1）

ステップ4 *-上記の3つの用語を簡略化するために *Boolean postulate 、x.1 = xを使用します。

⇒f = qr + pr + pq

⇒f = pq + qr + pr

したがって、簡略化されたブール関数は f = pq + qr + pr です。

したがって、各メソッドで指定されたブール関数を単純化した後、2つの異なるブール関数を取得しました。機能的には、これら2つのブール関数は同じです。したがって、要件に基づいて、これら2つのブール関数のいずれかを選択できます。

例2

ブール関数の「補数」、f = p’q + pq ’を見つけましょう。

ブール関数の補数はf ’=（p’q + pq’） ’です。

ステップ1 *-DeMorganの定理（x + y） '= x'.y’を使用します。

⇒f ’=（p’q）’。（pq ’）’

ステップ2 *-DeMorganの定理を使用して、（x.y） ’= x’ + y ’

⇒f´= \ {（p´） ´+ q´}。\ {p´+（q´）´}

*Step3* -ブール仮説（x ’）’ = xを使用します。

⇒f´= \ {p + q´}。\ {p´+ q}

⇒f ’= pp’ + pq + p’q ’+ qq’

ステップ4 *-ブール仮説、xx ’= 0を使用します。

⇒f = 0 + pq + p’q ’+ 0

⇒f = pq + p’q ’

したがって、ブール関数の「補数」であるp’q + pq ’は pq + p’q’ です。

Digital-circuits-boolean-algebra

目次