Design-and-analysis-of-algorithms-travelling-salesman-problem

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DAA-巡回セールスマン問題

問題文

旅行者は、リストからすべての都市を訪問する必要があります。このリストでは、すべての都市間の距離がわかっており、各都市を一度だけ訪問する必要があります。 彼が各都市を一度だけ正確に訪れ、元の都市に戻る最短ルートは何ですか？

溶液

巡回セールスマンの問題は、最も悪名高い計算上の問題です。 ブルートフォースアプローチを使用して、可能なすべてのツアーを評価し、最適なツアーを選択できます。 グラフ内の n 個の頂点には、*（_ n_-1）！*個の可能性があります。

多項式時間アルゴリズムはありませんが、動的プログラミングアプローチを使用したブルートフォースの代わりに、短時間でソリューションを取得できます。

グラフ G =（V、E） を考えてみましょう。 _ V_ は都市のセットで、 _ E_ は重み付きエッジのセットです。 エッジ e（u、v） は、頂点 u および v が接続されていることを表します。 頂点 u と v の間の距離は d（u、v） であり、非負でなければなりません。

私たちが都市 1 で出発し、いくつかの都市を訪れた後、都市 j にいるとします。 したがって、これは部分的なツアーです。 j を知っておく必要があります。これにより、次に訪れるのに最も便利な都市が決まるからです。 また、これまでに訪れたすべての都市を知る必要があります。そのため、それらの都市のいずれも繰り返さないようにします。 したがって、これは適切な副問題です。

都市のサブセットの場合 SЄ\ {1、2、3、…​ n_1 _j *で終わる。

いつ| * _ S ' * | > 1、パスは 1 で開始および終了できないため、 ' C（S、1）_ = defineを定義します。

さて、小さな副問題に関して* C（S、j）を表現しましょう。 *1 で開始し、 j で終了する必要があります。 次の都市を選択する必要があります

C（S、j）= min \：C（S-\ lbrace j \ rbrace、i）+ d（i、j）\：where \：i \ in S \：and \：i \ neq jc（ S、j）= minC（s- \ lbrace j \ rbrace、i）+ d（i、j）\：where \：i \ in S \：and \：i \ neq j 

Algorithm: Traveling-Salesman-Problem
C ({1}, 1) = 0
for s = 2 to n do
   for all subsets S Є {1, 2, 3, … , n} of size s and containing 1
      C (S, 1) = ∞
   for all j Є S and j ≠ 1
      C (S, j) = min {C (S – {j}, i) + d(i, j) for i Є S and i ≠ j}
Return minj C ({1, 2, 3, …, n}, j) + d(j, i)

分析

サブ問題は最大で$ 2 ^ n.n $個あり、それぞれの解決には線形の時間がかかります。 したがって、合計実行時間は$ O（2 ^ n.n ^ 2）$です。

例

次の例では、巡回セールスマンの問題を解決する手順を示します。

分析

上記のグラフから、次の表を作成します。

1 2 3 4
1 0 10 15 20
2 5 0 9 10
3 6 13 0 12
4 8 8 9 0

S =Φ

\ smallコスト（2、\ Phi、1）= d（2,1）= 5 \ smallコスト（2、\ Phi、1）= d（2,1）= 5

\ smallコスト（3、\ Phi、1）= d（3,1）= 6 \ smallコスト（3、\ Phi、1）= d（3,1）= 6

\ smallコスト（4、\ Phi、1）= d（4,1）= 8 \ smallコスト（4、\ Phi、1）= d（4,1）= 8

S = 1

\ smallコスト（i、s）=最小\ lbraceコスト（j、s –（j））+ d [i、j] \ rbrace \ smallコスト（i、s）= min \ lbraceコスト（j、s ）-（j））+ d [i、j] \ rbrace

\ smallコスト（2、\ lbrace 3 \ rbrace、1）= d [2,3] +コスト（3、\ Phi、1）= 9 + 6 = 15cost（2、\ lbrace3 \ rbrace、1）= d [2,3] + cost（3、\ Phi、1）= 9 + 6 = 15

\ smallコスト（2、\ lbrace 4 \ rbrace、1）= d [2,4] +コスト（4、\ Phi、1）= 10 + 8 = 18cost（2、\ lbrace4 \ rbrace、1）= d [2,4] + cost（4、\ Phi、1）= 10 + 8 = 18

\ smallコスト（3、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= d [3,2] +コスト（2、\ Phi、1）= 13 + 5 = 18cost（3、\ lbrace2 \ rbrace、1）= d [3,2] + cost（2、\ Phi、1）= 13 + 5 = 18

\ smallコスト（3、\ lbrace 4 \ rbrace、1）= d [3,4] +コスト（4、\ Phi、1）= 12 + 8 = 20cost（3、\ lbrace4 \ rbrace、1）= d [3,4] + cost（4、\ Phi、1）= 12 + 8 = 20

\ smallコスト（4、\ lbrace 3 \ rbrace、1）= d [4,3] +コスト（3、\ Phi、1）= 9 + 6 = 15cost（4、\ lbrace3 \ rbrace、1）= d [4,3] + cost（3、\ Phi、1）= 9 + 6 = 15

\ smallコスト（4、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= d [4,2] +コスト（2、\ Phi、1）= 8 + 5 = 13cost（4、\ lbrace2 \ rbrace、1）= d [4,2] + cost（2、\ Phi、1）= 8 + 5 = 13

S = 2

\ small Cost（2、\ lbrace 3、4 \ rbrace、1）= \ begin \ {cases} d [2、3] + Cost（3、\ lbrace 4 \ rbrace、1）= 9 + 20 = 29 \\ d [2、4] + Cost（4、\ lbrace 3 \ rbrace、1）= 10 + 15 = 25 = 25 \ small Cost（2、\ lbrace 3,4 \ rbrace、1）\\\ lbrace d [2,3] + \ small cost（3、\ lbrace4 \ rbrace、1）= 9 + 20 = 29d [2,4] + \ small Cost（4、\ lbrace 3 \ rbrace、1）= 10 + 15 = 25 \ end \ {cases} = 25

\ small Cost（3、\ lbrace 2、4 \ rbrace、1）= \ begin \ {cases} d [3、2] + Cost（2、\ lbrace 4 \ rbrace、1）= 13 + 18 = 31 \\ d [3、4] + Cost（4、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= 12 + 13 = 25 = 25 \ small Cost（3、\ lbrace 2,4 \ rbrace、1）\\\ lbrace d [3,2] + \ small cost（2、\ lbrace4 \ rbrace、1）= 13 + 18 = 31d [3,4] + \ small Cost（4、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= 12 + 13 = 25 \ end \ {cases} = 25

\ small Cost（4、\ lbrace 2、3 \ rbrace、1）= \ begin \ {cases} d [4、2] + Cost（2、\ lbrace 3 \ rbrace、1）= 8 + 15 = 23 \\ d [4、3] + Cost（3、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= 9 + 18 = 27 = 23 \ small Cost（4、\ lbrace 2,3 \ rbrace、1）\\\ lbrace d [4,2] + \ small cost（2、\ lbrace3 \ rbrace、1）= 8 + 15 = 23d [4,3] + \ small Cost（3、\ lbrace 2 \ rbrace、1）= 9 + 18 = 27 \ end \ {cases} = 23

S = 3

\ small Cost（1、\ lbrace 2、3、4 \ rbrace、1）= \ begin \ {cases} d [1、2] + Cost（2、\ lbrace 3、4 \ rbrace、1）= 10 + 25 = 35 \\ d [1、3] + Cost（3、\ lbrace 2、4 \ rbrace、1）= 15 + 25 = 40 \\ d [1、4] + Cost（4、\ lbrace 2、 3 \ rbrace、1）= 20 + 23 = 43 = 35 cost（1、\ lbrace 2,3,4 \ rbrace）、1）\\ d [1,2] + cost（2、\ lbrace 3,4 \ rbrace、1）= 10 + 25 = 35 \\ d [1,3] + cost（3、\ lbrace 2,4 \ rbrace、1）= 15 + 25 = 40 \\ d [1,4] + cost（ 4、\ lbrace 2,3 \ rbrace、1）= 20 + 23 = 43 = 35 \ end \ {cases}

最小コストパスは35です。

コスト \ {1、\ {2、3、4}、1} から始めて、 d [1、2] の最小値を取得します。 s = 3 の場合、1から2（コストは10）のパスを選択し、逆方向に進みます。 s = 2 の場合、 d [4、2] の最小値を取得します。 2から4（コストは10）のパスを選択し、逆方向に進みます。 

*s = 1* の場合、 *d [4、3]* の最小値を取得します。 パス4から3（コストは9）を選択して、* s =Φ*ステップに進みます。 *d [3、1]* （コストは6）の最小値を取得します。

値

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