データ構造とアルゴリズム-スパニングツリー

スパニングツリーはグラフGのサブセットであり、すべての頂点が最小数のエッジで覆われています。したがって、スパニングツリーにはサイクルがなく、切断できません。

この定義により、すべての接続された無向グラフGには少なくとも1つのスパニングツリーがあるという結論を導き出すことができます。切断されたグラフには、すべての頂点にまたがることができないため、スパニングツリーがありません。

1つの完全なグラフから3つのスパニングツリーが見つかりました。完全な無向グラフは、最大 n ^ n-2 ^ のスパニングツリーを持つことができます。ここで、 n はノードの数です。上記の例では、 nは3 です。したがって、 3 ^ 3-2 ^ = 3 スパニングツリーが可能です。

スパニングツリーの一般的なプロパティ

1つのグラフが複数のスパニングツリーを持つことができることがわかりました。以下は、グラフGに接続されたスパニングツリーのいくつかのプロパティです-

連結グラフGは、複数のスパニングツリーを持つことができます。
グラフGのすべてのスパニングツリーは、同じ数のエッジと頂点を持ちます。
スパニングツリーにはサイクル（ループ）がありません。
スパニングツリーから1つのエッジを削除すると、グラフが切断されます。スパニングツリーは*最小接続*です。
スパニングツリーに1つのエッジを追加すると、回線またはループが作成されます。スパニングツリーは*最大非循環*です。

スパニングツリーの数学的特性

スパニングツリーには n-1 のエッジがあります。 n はノード（頂点）の数です。
完全なグラフから、最大 e-n＆plus;を削除して1 エッジ、スパニングツリーを構築できます。
完全なグラフには、最大 n ^ n-2 ^ 個のスパニングツリーを含めることができます。

したがって、スパニングツリーは接続されたグラフGのサブセットであり、切断されたグラフにはスパニングツリーがないと結論付けることができます。

スパニングツリーの応用

スパニングツリーは基本的に、グラフ内のすべてのノードを接続するための最小パスを見つけるために使用されます。スパニングツリーの一般的なアプリケーションは-

市民ネットワーク計画
コンピューターネットワークルーティングプロトコル
クラスター分析

小さな例を使ってこれを理解しましょう。都市ネットワークは巨大なグラフであると考えてください。現在、電話回線を最小限の回線ですべての都市ノードに接続できるように配置することを計画しています。これが、スパニングツリーの出番です。

最小スパニングツリー（MST）

重み付きグラフでは、最小スパニングツリーは、同じグラフの他のすべてのスパニングツリーよりも最小の重みを持つスパニングツリーです。実際の状況では、この重みは、距離、輻輳、トラフィック負荷、またはエッジに示される任意の値として測定できます。

最小スパニングツリーアルゴリズム

ここでは、2つの最も重要なスパニングツリーアルゴリズムについて学習します-

リンク：/data_structures_algorithms/kruskals_spanning_tree_algorithm [Kruskal’s Algorithm]
リンク：/data_structures_algorithms/prims_spanning_tree_algorithm [Prim’s Algorithm]

どちらも貪欲なアルゴリズムです。

Data-structures-algorithms-spanning-tree

目次