赤方偏移と後退速度

ハッブルの観測では、動径速度が*スペクトル線*のシフトに関連しているという事実を利用しました。ここでは、4つのケースを観察し、後退速度（$ v_r $）と赤方偏移（z）の関係を見つけます。

ケース1：ソース移動の非相対論的ケース

この場合、vはcよりはるかに小さくなります。ソースは何らかの信号（音、光など）を発しています。これは Wavefronts として伝播しています。ソースフレームで2つの連続した信号を送信する時間間隔は*Δts*です。オブザーバーフレームで2つの連続した信号を受信する間の時間間隔は*Δto*です。

ソース移動

観測者と光源の両方が静止している場合、Δts=Δtoですが、ここではそうではありません。代わりに、関係は次のとおりです。

\ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac \ {\ Delta l} \ {c}

ここで、$ \ Delta l = v \ Delta t_s $

また、（波速度x時間）=波長なので、

\ frac \ {\ Delta t_o} \ {\ Delta t_s} = \ frac \ {\ lambda_o} \ {\ lambda_s}

上記の方程式から、次の関係が得られます-

\ frac \ {\ lambda_o} \ {\ lambda_s} = 1 + \ frac \ {v} \ {c}

ここで、$ \ lambda _s $はソースでの信号の波長であり、$ \ lambda _o $はオブザーバーによって解釈される信号の波長です。

ここでは、ソースがオブザーバーから遠ざかっているため、 v は正です。

赤方偏移-

z = \ frac \ {\ lambda_o-\ lambda_s} \ {\ lambda_s} = \ frac \ {\ lambda_o} \ {\ lambda_s}-1

上記の式から、次のように赤方偏移が得られます。

z = \ frac \ {v} \ {c}

ケース2：観測者移動の非相対論的ケース

この場合、vはcよりはるかに小さくなります。ここで、$ \ Delta l $は異なります。

\ Delta l = v \ Delta t_o

非相対論的

単純化すると、次のようになります-

\ frac \ {\ Delta t_o} \ {\ Delta t_s} = \ left（1-\ frac \ {v} \ {c} \ right）^ \ {-1}

私たちは次のようにレッドシフトを取得します-

z = \ frac \ {v/c} \ {1-v/c}

*v << c* なので、ケースIとケースIIの両方の赤方偏移式はほぼ同じです。

上記の2つのケースで得られた赤方偏移がどのように異なるかを見てみましょう。

z _ \ {II}-z_I = \ frac \ {v} \ {c} \ left [\ frac \ {1} \ {1-v/c} -1 \ right]

したがって、$ z _ \ {II}-z _ \ {I} $は、$（v/c）^ 2 $因子のために非常に小さい数値です。

これは、v << cの場合、ソースが動いているか、観測者が動いているかを判断できないことを意味します。

ここで* STRの基礎*（特殊相対性理論）を理解しましょう-

光の速度は一定です。
光源（または観測者）が光の速度に匹敵する速度で動いている場合、相対論的効果が観察されます。
時間膨張：$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
長さの収縮：$ \ Delta l_o = \ Delta t_s/\ gamma $
ここで、$ \ gamma $は* Lorrentz係数*であり、1より大きい値です。

\ gamma = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {1-（v ^ 2/c ^ 2）}}

ケース3：ソース移動の相対論的ケース

この場合、vはcと同等です。ケースIと同じ図を参照してください。相対論的効果により、時間の拡張が観察され、したがって次の関係が得られます。（ソースは相対論的な速度で動いています）

\ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac \ {\ Delta l} \ {c}

\ Delta l = \ frac \ {v \ gamma \ Delta t_s} \ {c}

\ frac \ {\ Delta t_o} \ {\ Delta t_s} = \ frac \ {1 + v/c} \ {\ sqrt \ {1-（v ^ 2/c ^ 2）}}

さらに簡略化すると、

1 + z = \ sqrt \ {\ frac \ {1 + v/c} \ {1-v/c}}

上記の式は、*キネマティックドップラーシフト式*として知られています。

ケース4：観測者移動の相対論的ケース

ケースIIと同じ図を参照してください。相対論的効果により、時間短縮が観察され、以下の関係が得られます。（オブザーバーは相対論的な速度で動いています）

\ Delta t_o = \ frac \ {\ Delta t_s} \ {\ gamma} + \ frac \ {\ Delta l} \ {c}

\ Delta l = \ frac \ {v \ Delta t_o} \ {c}

\ frac \ {\ Delta t_o} \ {\ Delta t_s} = \ frac \ {\ sqrt \ {1-（v ^ 2/c ^ 2）}} \ {1-v/c}

さらに簡素化すると、次のようになります-

1 + z = \ sqrt \ {\ frac \ {1+ v/c} \ {1- v/c}}

上記の式は、ケースIIIで得たものと同じです。

覚えておくべきポイント

星の後退速度と赤方偏移は関連する量です。
非相対論的なケースでは、ソースが動いているか静止しているかを判断できません。
相対論的な場合、ソースまたは観測者の移動に対する赤方偏移と後退速度の関係に違いはありません。
時計の動きが遅くなるのは、相対性理論の直接的な結果です。

Cosmology-redshift-and-recessional-velocity

目次