Cosmology-matter-dominated-universe
宇宙論-物質支配宇宙
この章では、物質支配宇宙に関連するフリードマン方程式の解について説明します。 宇宙論では、太陽系、銀河、すべてを大規模に見ているため、すべてがたまたま塵粒子のように見えます（それは私たちの目で見たものです）。
- 流体方程式*では、
\ dot \ {\ rho} = -3 \ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）\ rho -3 \ left（\ frac \ {\ dot \ {a} } \ {a} \ right）\ left（\ frac \ {P} \ {c ^ 2} \ right）
プレッシャータームがあることがわかります。 物質のエネルギー密度は放射圧よりも大きくなり、物質は相対論的な速度で移動しないため、塵の多い宇宙では、 P = 0 です。
したがって、流体方程式は次のようになります。
\ dot \ {\ rho} = -3 \ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）\ rho
\右矢印\ dot \ {\ rho} a + 3 \ dot \ {a} \ rho = 0
\ Rightarrow \ frac \ {1} \ {a ^ 3} \ frac \ {\ mathrm \ {d}} \ {\ mathrm \ {d} t}（a ^ 3 \ rho）= 0
\ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \：constant
\右矢印\ rho \ propto \ frac \ {1} \ {a ^ 3}
体積は$ a ^ 3 $として増加するため、密度は$ a ^ \ {-3} $としてスケーリングする必要があるため、この方程式には直観に反するものはありません。
最後の関係から、私たちはそれを言うことができます、
\ frac \ {\ rho（t）} \ {\ rho_0} = \ left [\ frac \ {a_0} \ {a（t）} \ right] ^ 3
現在のユニバースの場合、* a〜0〜に等しい *a は1でなければなりません。 So,
\ rho（t）= \ frac \ {\ rho_0} \ {a ^ 3}
平らな宇宙が支配的な問題では、k = 0です。 したがって、フリードマン方程式は次のようになります。
\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G \ rho} \ {3}
\ dot \ {a} ^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G \ rho a ^ 2} \ {3}
この方程式を解くことにより、
a \ propto t ^ \ {2/3}
\ frac \ {a（t）} \ {a_0} = \ left（\ frac \ {t} \ {t_0} \ right）^ \ {2/3}
a（t）= \ left（\ frac \ {t} \ {t_0} \ right）^ \ {2/3}
これは、宇宙が減少率で増加し続けることを意味します。 次の画像は、ダスティユニバースの拡張を示しています。
ρは時間とともにどのように変化しますか？
次の方程式を見てください-
\ frac \ {\ rho（t）} \ {\ rho_0} = \ left（\ frac \ {t_0} \ {t} \ right）^ 2
スケールファクターは、時間とともに$ t ^ \ {2/3} $として変化することがわかっています。 So,
a（t）= \ left（\ frac \ {t} \ {t_0} \ right）^ \ {2/3}
それを差別化すると、
\ frac \ {（da）} \ {dt} = \ dot \ {a} = \ frac \ {2} \ {3} \ left（\ frac \ {t ^ \ {-1/3}} \ {t_0} \ right）
*Hubble Constant* は、H（t）= \ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} = \ frac \ {2} \ {3t}
これは Einstein-de sitter Universe の方程式です。 宇宙の現在の年齢を計算したい場合、
t_0 = t _ \ {age} = \ frac \ {2} \ {3H_0}
現在の宇宙に$ H_0 $の値を入れた後、宇宙の年齢の値を 9 Gyrs として取得します。 私たち自身の天の川銀河には、それ以上の年齢を持つ多くの*球状星団*があります。
それはすべてほこりの多い宇宙についてでした。 さて、宇宙が物質ではなく放射に支配されていると仮定すると、放射エネルギー密度は$ a ^ \ {-3} $ではなく$ a ^ \ {-4} $になります。 詳細については、次の章で説明します。
覚えておくべきポイント
- 宇宙論では、すべてがたまたま塵粒子のようなものであるため、私たちはそれを塵の多い宇宙または物質のみの宇宙と呼びます。
- 宇宙が物質ではなく放射によって支配されていると仮定すると、放射エネルギー密度は$ a ^ \ {-3} $ではなく$ a ^ \ {-4} $になります。
