Cosmology-hubble-parameter-and-scale-factor
ハッブルのパラメーターとスケール係数
この章では、ハッブルパラメーターとスケールファクターについて説明します。
- 前提条件-宇宙論的赤方偏移、宇宙論的原理。
- 仮定-宇宙は均質で等方性です。
スケール係数の分数変化率を伴うハッブルの定数
このセクションでは、ハッブルの定数をスケールファクターの変化率と関連付けます。
次の方法で速度を記述し、簡単にすることができます。
v = \ frac \ {\ mathrm \ {d} r_p} \ {\ mathrm \ {d} t}
= \ frac \ {d [a（t）r_c} \ {dt}
v = \ frac \ {\ mathrm \ {d} a} \ {\ mathrm \ {d} t} \ ast \ frac \ {1} \ {a} \ ast（ar_c）
v = \ frac \ {\ mathrm \ {d} a} \ {\ mathrm \ {d} t} \ ast \ frac \ {1} \ {a} \ ast r_p
ここで、 v は後退速度、 a はスケール係数、* r〜p〜*は銀河間の適切な距離です。
- ハッブルの実験式*は本質的なものでした-
v = H \ ast r_p
したがって、上記の2つの方程式を比較すると、
ハッブルのパラメーター=スケールファクターの分数変化率
H = da/dt \ ast 1/a
注-スケール係数は時間の関数であるため、これは定数ではありません。 したがって、ハッブルの定数ではなく、ハッブルのパラメーターと呼ばれます。
経験的に私たちは書く-
H = V/D
したがって、この方程式から、 D が増加し、 V が定数であるため、 H は宇宙の時間と膨張とともに減少すると推測できます。
Robertson-Walkerモデルと組み合わせたフリードマン方程式
このセクションでは、Robertson-WalkerモデルとともにFriedmann方程式がどのように使用されるかを理解します。 これを理解するために、質量体 M から* r〜p〜*の距離にテスト質量がある例として、次の画像を見てみましょう。
上記の画像を考慮して、次のように力を表現できます-
F = G \ ast M \ ast \ frac \ {m} \ {r ^ 2_p}
ここで、 G は普遍的な重力定数であり、ρは観測可能な宇宙内の物質密度です。
今、球内の均一な質量密度を仮定すると、私たちは書くことができます-
M = \ frac \ {4} \ {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho
これらの力の方程式に戻ると、次のようになります-
F = \ frac \ {4} \ {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m
したがって、質量 m のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーを-
V =-\ frac \ {4} \ {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho
K.E = \ frac \ {1} \ {2} \ ast m \ ast \ frac \ {\ mathrm \ {d} r_p ^ 2} \ {\ mathrm \ {d} t}
- ビリアル定理*を使用して-
U = K.E + V
U = \ frac \ {1} \ {2} \ ast m \ ast \ left（\ frac \ {\ mathrm \ {d} r_p} \ {\ mathrm \ {d} t} \ right）^ 2- \ frac \ {4} \ {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho
しかし、ここでは、$ r_p = ar_c $です。 だから、私たちは-
U = \ frac \ {1} \ {2} \ ast m \ ast \ left（\ frac \ {\ mathrm \ {d} a} \ {\ mathrm \ {d} t} \ right）^ 2 r_c ^ 2-\ frac \ {4} \ {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho
さらに簡略化すると、フリードマン方程式が得られます。
\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi} \ {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac \ { 2U} \ {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2
ここで、 U は定数です。 また、私たちが現在住んでいる宇宙は物質によって支配されており、放射エネルギー密度は非常に低いことにも注意してください。
覚えておくべきポイント
- ハッブルパラメーターは、時間の経過と宇宙の膨張とともに減少します。
- 私たちが現在住んでいる宇宙は物質によって支配されており、放射エネルギー密度は非常に低いです。
