Cosmology-hubble-and-density-parameter

宇宙論-ハッブルと密度のパラメーター

この章では、密度とハッブルのパラメーターについて説明します。

ハッブルパラメーター

ハッブルのパラメーターは次のように定義されています-

H（t）\ equiv \ frac \ {da/dt} \ {a}

スケールファクターの変化の速さを測定します。 より一般的には、スケール係数の進化はフリードマン方程式によって決定されます。

H ^ 2（t）\ equiv \ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho- \ frac \ {kc ^ 2} \ {a ^ 2} + \ frac \ {\ wedge} \ {3}

ここで、*∧*は宇宙定数です。

平らな宇宙では、k = 0なので、フリードマン方程式は-

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho + \ frac \ {\ wedge} \ {3}

物質が支配的な宇宙の場合、密度は次のように変化します-

\ frac \ {\ rho_m} \ {\ rho _ \ {m、0}} = \ left（\ frac \ {a_0} \ {a} \ right）^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho _ \ {m、 0} a ^ \ {-3}

そして、放射線が支配的な宇宙の場合、密度は次のように変化します-

\ frac \ {\ rho _ \ {rad}} \ {\ rho _ \ {rad、0}} = \ left（\ frac \ {a_0} \ {a} \ right）^ 4 \ Rightarrow \ rho _ \ {rad } = \ rho _ \ {rad、0} a ^ \ {-4}

現在、私たちは物質支配の宇宙に住んでいます。 したがって、$ \ rho≡\ rho_m $を考慮すると、

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho _ \ {m、0} a ^ \ {-3} + \ frac \ {\ wedge} \ {3}

宇宙定数と暗黒エネルギー密度は次のように関係しています-

\ rho_ \ wedge = \ frac \ {\ wedge} \ {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge

これから、我々は得る-

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho _ \ {m、0} a ^ \ {-3} + \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho_ \ wedge

また、臨界密度とハッブルの定数は次のように関連しています-

\ rho _ \ {c、0} = \ frac \ {3H_0 ^ 2} \ {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} = \ frac \ {H_0 ^ 2} \ {\ rho _ \ {c、0}}

これから、我々は得る-

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {H_0 ^ 2} \ {\ rho _ \ {c、0}} \ rho _ \ {m 、0} a ^ \ {-3} + \ frac \ {H_0 ^ 2} \ {\ rho _ \ {c、0}} \ rho_ \ wedge

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega _ \ {m、0} a ^ \ {-3} + H_0 ^ 2 \ Omega_ \ {\ wedge、0}

（\ dot \ {a}）^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega _ \ {m、0} a ^ \ {-1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ \ {\ wedge、0} a ^ 2

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {H_0} \ right）^ 2 = \ Omega _ \ {m、0} \ frac \ {1} \ {a} + \ Omega _ \ {\ウェッジ、0} a ^ 2

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {H_0} \ right）^ 2 = \ Omega _ \ {m、0}（1 + z）+ \ Omega _ \ {\ wedge、0} \ frac \ {1} \ {（1 + z）^ 2}

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {H_0} \ right）^ 2（1 + z）^ 2 = \ Omega _ \ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega _ \ {\ wedge、0}

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {H_0} \ right）^ 2 \ frac \ {1} \ {a ^ 2} = \ Omega _ \ {m、0}（1 + z ）^ 3 + \ Omega _ \ {\ wedge、0}

$$ \ left（\ frac \ {H（z）} \ {H_0} \ right）^ 2 = \ Omega _ \ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega _ \ {\ wedge、0} $ $

ここで、$ H（z）$は赤方偏移依存のハッブルパラメーターです。 これを変更して、放射密度パラメーター$ \ Omega _ \ {rad} $および曲率密度パラメーター$ \ Omega_k $を含めることができます。 変更された方程式は-

\ left（\ frac \ {H（z）} \ {H_0} \ right）^ 2 = \ Omega _ \ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega _ \ {rad、0}（1 + z）^ 4 + \ Omega _ \ {k、0}（1 + z）^ 2 + \ Omega _ \ {\ wedge、0}

Or、\：\ left（\ frac \ {H（z）} \ {H_0} \ right）^ 2 = E（z）

Or、\：H（z）= H_0E（z）^ \ {\ frac \ {1} \ {2}}

どこで、

E（z）\ equiv \ Omega _ \ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega _ \ {rad、0}（1 + z）^ 4 + \ Omega _ \ {k、0}（1 + z）^ 2 + \ Omega _ \ {\ wedge、0}

これは、ハッブルパラメーターが時間とともに変化することを示しています。

*Einstein-de Sitter* ユニバースの場合、$ \ Omega_m = 1、\ Omega_ \ wedge = 0、k = 0 $。

これらの値を入れて、私たちは得る-

H（z）= H_0（1 + z）^ \ {\ frac \ {3} \ {2}}

これは、Einstein-de Sitter宇宙のハッブルパラメーターの時間発展を示しています。

密度パラメータ

密度パラメーター$ \ Omega $は、実際の（または観測された）密度ρと臨界密度$ \ rho_c $の比として定義されます。 任意の数量$ x $に対応する密度パラメーター、$ \ Omega_x $は、数学的に次のように表すことができます-

\ Omega_x = \ frac \ {\ rho_x} \ {\ rho_c}

検討中のさまざまな数量について、次の密度パラメーターを定義できます。

S.No.	Quantity	Density Parameter
1	Baryons	$\Omega_b = \frac\{\rho_b}\{\rho_c}$
2	Matter(Baryonic + Dark)	$\Omega_m = \frac\{\rho_m}\{\rho_c}$
3	Dark Energy	$\Omega_\wedge = \frac\{\rho_\wedge}\{\rho_c}$
4	Radiation	$\Omega_{rad} = \frac\{\rho_{rad}}\{\rho_c}$

シンボルに通常の意味がある場合。

覚えておくべきポイント

• スケール係数の進化は、*フリードマン方程式*によって決定されます。
• * H（z）*は、赤方偏移に依存するハッブルパラメーターです。
• * Hubbleパラメーター*は時間とともに変化します。
• *密度パラメータ*は、実際の（または観測された）密度と臨界密度の比として定義されます。