フリードマン方程式と世界モデル

この章では、フリードマン方程式が何であるかを理解し、さまざまな曲率定数の世界モデルに関して詳細に研究します。

フリードマン方程式

この方程式は、宇宙の均質で等方性のモデルにおける空間の膨張について教えてくれます。

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho + \ frac \ {2U} \ { mr_c ^ 2a ^ 2}

これは、 General Relativity （GR）およびRobertson-Walker Metricのコンテキストで次のように変更されました。

GR方程式を使用する-

\ frac \ {2U} \ {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2

ここで、 k は曲率定数です。したがって、

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho-\ frac \ {kc ^ 2} \ {a ^ 2}

また、$ \ rho $は、物質、放射線、その他のエネルギーを含むエネルギー密度に置き換えられます。ただし、表現目的では、$ \ rho $と表記されます。

曲率定数の値に応じてさまざまな可能性を見てみましょう。

膨張する宇宙の場合、$ da/dt> 0 $。拡張が続くと、上記の方程式のRHSの最初の項は$ a ^ \ {-3} $になり、2番目の項は$ a ^ \ {-2} $になります。 2つの用語が等しくなると、宇宙は膨張を停止します。その後-

\ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho = \ frac \ {kc ^ 2} \ {a ^ 2}

ここで、k = 1、したがって、

a = \ left [\ frac \ {3c ^ 2} \ {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ \ {\ frac \ {1} \ {2}}

そのような宇宙は有限であり、有限の体積を持っています。これは閉じた宇宙と呼ばれます。

*k <0* の場合、展開は停止しません。 ある時点の後、RHSの最初の用語は、2番目の用語と比較して無視できます。

ここで、k = -1 したがって、$ da/dt〜c $。

この場合、宇宙はcoast行しています。そのような宇宙には無限の空間と時間があります。これは、オープンユニバースと呼ばれます。

この場合、宇宙は減少速度で拡大しています。ここでは、k = 0です。したがって、

\ left（\ frac \ {\ dot \ {a}} \ {a} \ right）^ 2 = \ frac \ {8 \ pi G} \ {3} \ rho

そのような宇宙には無限の空間と時間があります。これはフラットユニバースと呼ばれます。