Convex-optimization-strongly-quasiconvex-function
強い準凸関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $およびSを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、$ x_1、x_2の場合、fは強い準凸関数になります\ S $に$ \ left（x_1 \ right）\ neq \ left（x_2 \ right）$がある場合、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）<max \ ：\ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ forall \ lambda \ in \ left（0,1 \ right）$
定理
$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合S上の準凸関数$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $は、線分上で定数でない場合、強く準凸関数です。 Sの任意のポイントに参加する
証明
fを準凸関数とし、Sの任意の点を結ぶ線分上で一定ではないとします。
fが強い準凸関数ではないと仮定します。
次のような$ x_1 \ neq x_2 $を持つ$ x_1、x_2 \ in S $が存在します
f \ left（z \ right）\ geq max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ forall z = \ lambda x_1 + \ left（ 1- \ lambda \ right）x_2、\ lambda \ in \ left（0,1 \ right）
$ \ Rightarrow f \ left（x_1 \ right）\ leq f \ left（z \ right）$および$ f \ left（x_2 \ right）\ leq f \ left（z \ right）$
fは$ \ left [x_1、z \ right] $および$ \ left [z、x_2 \ right] $で一定ではないため
したがって、$ u \ in \ left [x_1、z \ right] $および$ v = \ left [z、x_2 \ right] $が存在します。
\ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left（1- \ mu_1 \ right）z、v = \ mu_2z + \ left（1- \ mu_2 \ right）x_2
fは準凸であるため、
\ Rightarrow f \ left（u \ right）\ leq max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（z \ right）\ right \} = f \ left（z \ right） \：\：および\：\：f \ left（v \ right）\ leq max \ left \\ {f \ left（z \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}
$$ \ Rightarrow f \ left（u \ right）\ leq f \ left（z \ right）\：\：および\：\：f \ left（v \ right）\ leq f \ left（z \ right）$ $
\ Rightarrow max \ left \\ {f \ left（u \ right）、f \ left（v \ right）\ right \} \ leq f \ left（z \ right）
ただし、zはuとvの間の任意の点であり、それらのいずれかが等しい場合、fは定数です。
したがって、$ max \ left \\ {f \ left（u \ right）、f \ left（v \ right）\ right \} \ leq f \ left（z \ right）$
これは、fの準凸性が$ z \ in \ left [u、v \ right] $であることに矛盾します。
したがって、fは強い準凸関数です。
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $とSを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とします。 $ \ hat \ {x} $がローカル最適ソリューションである場合、$ \ hat \ {x} $は一意のグローバル最適ソリューションです。
証明
強い準凸関数は厳密に準凸関数でもあるため、局所最適解はグローバル最適解です。
一意性-fが2点でグローバルな最適解を得るようにします$ u、v \ in S $
\ Rightarrow f \ left（u \ right）\ leq f \ left（x \ right）。\ forall x \ in S \：\：および\：\：f \ left（v \ right）\ leq f \左（x \ right）。\ forall x \ in S
uがグローバル最適解の場合、$ f \ left（u \ right）\ leq f \ left（v \ right）$および$ f \ left（v \ right）\ leq f \ left（u \ right）\ Rightarrow f \ left（u \ right）= f \ left（v \ right）$
f \ left（\ lambda u + \ left（1- \ lambda \ right）v \ right）<max \ left \\ {f \ left（u \ right）、f \ left（v \ right）\ right \ } = f \ left（u \ right）
これは矛盾です。
したがって、グローバル最適ソリューションは1つしか存在しません。
備考
- 強い準凸関数も厳密に準凸関数です。
- 厳密な凸関数は、強い準凸である場合とそうでない場合があります。
- 微分可能な厳密な凸は、強い準凸です。
