Convex-optimization-strictly-quasiconvex-function
厳密に準凸関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $およびSを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対してfは厳密にquasicovex関数と呼ばれます、x_2 \ in S $ with $ f \ left（x_1 \ right）\ neq f \ left（x_2 \ right）$、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）<max \：\ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $
備考
- すべての厳密な準凸関数は厳密に凸です。
- 厳密に準凸関数は、準凸を意味しません。
- 厳密な準凸関数は、強い準凸ではない場合があります。
- 疑似凸関数は、厳密に準凸関数です。
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $を厳密に準凸関数にし、Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とします。問題を考慮してください：$ min \：f \ left（x \ right）、x \ in S $。 $ \ hat \ {x} $がローカル最適ソリューションである場合、$ \ bar \ {x} $はグローバル最適ソリューションです。
証明
$ f \ left（\ bar \ {x} \ right）\ leq f \ left（\ hat \ {x} \ right）$となるような$ \ bar \ {x} \ in S $が存在するものとします
$ \ bar \ {x}、\ hat \ {x} \ in S $およびSは凸集合なので、したがって、
\ lambda \ bar \ {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat \ {x} \ in S、\ forall \ lambda \ in \ left（0,1 \ right）
$ \ hat \ {x} $は極小値なので、$ f \ left（\ hat \ {x} \ right）\ leq f \ left（\ lambda \ bar \ {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat \ {x} \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、\ delta \ right）$
fは厳密に準凸であるため。
f \ left（\ lambda \ bar \ {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat \ {x} \ right）<max \ left \\ {f \ left（\ hat \ {x } \ right）、f \ left（\ bar \ {x} \ right）\ right \} = f \ left（\ hat \ {x} \ right）
したがって、それは矛盾です。
厳密に準凹の関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} ^ n $とSを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、fは$ごとに厳密に準シベックス関数となるx_1、x_2 \ in S $ with $ f \ left（x_1 \ right）\ neq f \ left（x_2 \ right）$、
f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）> min \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \ } 。
例
- $ f \ left（x \ right）= x ^ 2-2 $ +これは厳密に準凸関数です。なぜなら、定義$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ rightの制約を満たすドメイン内の任意の2点$ x_1、x_2 $を取る場合）<max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $関数は負のx軸で減少し、正のx軸で増加しているため、軸（放物線なので）。
- $ f \ left（x \ right）=-x ^ 2 $ +これは厳密な準凸関数ではありません。なぜなら、$ x_1 = 1 $と$ x_2 = -1 $と$ \ lambda = 0.5 $をとると、$ f \ left（x_1 \ right）=-1 = f \ left （x_2 \ right）$ but $ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）= 0 $したがって、定義に記載されている条件を満たしていません。 ただし、定義内の制約を満たすドメイン内の任意の2点を取得すると、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）> min \ left \ \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $。 関数は負のx軸で増加し、正のx軸で減少します。
