Convex-optimization-quasiconvex-quasiconcave-functions

準凸および準凹関数

$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $とします。ここで、$ S \ subset \ mathbb \ {R} ^ n $は空でない凸集合です。 関数fは、各$ x_1、x_2 \ in S $に対して$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq max \ left \がある場合、準凸であると言われます\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$

たとえば、$ f \ left（x \ right）= x ^ \ {3} $

$ f：S \ rightarrow R $とします。ここで、$ S \ subset \ mathbb \ {R} ^ n $は空でない凸集合です。 関数fは、各$ x_1、x_2 \ in S $に$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ geq min \ left \がある場合、準凸であると言われます\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$

備考

• すべての凸関数は準凸ですが、逆は当てはまりません。
• 準凸と準凹の両方である関数は、準単調と呼ばれます。

定理

$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $で、Sが$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合であるとします。 関数fは、$ S _ \ {\ alpha} = \ left（x \ in S：f \ left（x \ right）\ leq \ alpha \ right \} $が各実数\ alphaに対して凸である場合に限り、準凸です。 $

証明

fをSの準凸とする

$ x_1、x_2 \ in S _ \ {\ alpha} $したがって、$ x_1、x_2 \ in S $および$ max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} \ leq \ alpha $

$ \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$とし、$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ leq max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right ）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} \右矢印x \ in S $

したがって、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\右\} \ leq \ alpha $

したがって、$ S _ \ {\ alpha} $は凸です。

逆

$ S _ \ {\ alpha} $が各$ \ alpha $に対して凸であるとします

$ x_1、x_2 \ in S、\ lambda \ in \ left（0,1 \ right）$

$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $

$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $とする

$ x_1、x_2 \ in S _ \ {\ alpha}、\ alpha = max \ left \\ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $の場合

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ in S _ \ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ alpha $

したがって証明した。

定理

$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $で、Sが$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合であるとします。 関数fは、$ S _ \ {\ alpha} = \ left \\ {x \ in S：f \ left（x \ right）\ geq \ alpha \ right \} $が各実数に対して凸である場合にのみ、準凹です$ \ alpha $。

定理

$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $で、Sが$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合であるとします。 関数fは、$ S _ \ {\ alpha} = \ left \\ {x \ in S：f \ left（x \ right）= \ alpha \ right \} $が各実数$に対して凸である場合にのみ準単調です\ alpha $。