Convex-optimization-pseudoconvex-function
擬似凸関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $を微分可能な関数とし、Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とし、各$に対してfを擬似凸と呼ぶx_1、x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）\ geq f \ left（x_1 \ right）$、または同等の場合$ f \ left（x_1 \ right）> f \ left（x_2 \ right）$ then $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）<0 $
擬似凹関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $を微分可能な関数とし、Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とし、各$に対してfを擬似凸と呼ぶx_1、x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）\ leq f \ left（x_1 \ right）$、または同等の場合$ f \ left（x_1 \ right）> f \ left（x_2 \ right）$ then $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）> 0 $
備考
- 関数が擬似凸面と擬似凹面の両方である場合は、擬似線形と呼ばれます。
- 微分可能な凸関数も疑似凸です。
- 擬似凸関数は凸型ではない場合があります。 例えば、 + $ f \ left（x \ right）= x + x ^ 3 $は凸ではありません。 If $ x_1 \ leq x_2、x _ \ {1} ^ \ {3} \ leq x _ \ {2} ^ \ {3} $ したがって、$ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2 -x_1 \ right）= \ left（1 + 3x _ \ {1} ^ \ {2} \ right）\ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $ +そして、$ f \ left（x_2 \ right）- f \ left（x_1 \ right）= \ left（x_2-x_1 \ right） \ left（x _ \ {2} ^ \ {3} -x _ \ {1} ^ \ {3} \ right）\ geq 0 $ + $ \ Rightarrow f \ left（x_2 \ right）\ geq f \ left（x_1 \ right）$ +したがって、これは擬似凸です。 +疑似凸関数は厳密に準凸です。 したがって、擬似凸のすべての局所最小値もグローバル最小値です。
厳密に擬似凸関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $を微分可能な関数とし、Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸集合とし、各$に対してfを擬似凸と呼ぶx_1、x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）> f \ left （x_1 \ right）$、または同等の場合$ f \ left（x_1 \ right）\ geq f \ left（x_2 \ right）$ then $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）<0 $
定理
fを擬似凸関数とし、S $の$ \ hat \ {x}に対して$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）= 0 $とし、次に$ \ hat \ {x} $とするS上のfのグローバルな最適解です。
証明
$ \ hat \ {x} $をfの臨界点、つまり$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）= 0 $とする
fは擬似凸関数なので、$ x \ in S、$に対して
\ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）\ left（x- \ hat \ {x} \ right）= 0 \ Rightarrow f \ left（\ hat \ {x} \ right）\ leq f \ left（x \ right）、\ forall x \ in S
したがって、$ \ hat \ {x} $はグローバルな最適ソリューションです。
リマーク
fが厳密に擬似凸関数の場合、$ \ hat \ {x} $は一意のグローバル最適解です。
定理
fがS上の微分可能な擬似凸関数である場合、fは厳密に準凸関数であると同時に準凸関数でもあります。
備考
- $ \ mathbb \ {R} ^ n $のオープンセットSで定義された2つの擬似凸関数の合計は、擬似凸ではない場合があります。
- $ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $を準凸関数、Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸サブセットとすると、すべての臨界点がS上のfのグローバル最小値
- Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でない凸サブセットとし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $を$ \ bigtriangledown f \ left（x \ right）のような関数とするすべての$ x \ in S $に対して\ neq 0 $の場合、準凸関数である場合に限り、fは擬似凸です。
