Convex-optimization-polar-cone

凸最適化-Polar Cone

Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でないセットとすると、$ S ^ $で表されるSの極円錐は、$ S ^ = \ left \\ {p \ in \ mathbbで与えられます。 \ {R} ^ n、p ^ Tx \ leq 0 \：\ forall x \ in S \ right \} $。

リマーク

• Sが凸でない場合でも、極円錐は常に凸です。 Sが空のセットの場合、$ S ^ = \ mathbb \ {R} ^ n $。
• 極性は、直交性の一般化と見なされる場合があります。

$ C \ subseteq \ mathbb \ {R} ^ n $とし、Cの直交空間を$ C ^ \ perp = \ left \\ {y \ in \ mathbb \ {R} ^ n：\ left \ langleで示すx、y \ right \ rangle = 0 \ forall x \ in C \ right \} $。

補題

$ S、S_1 $と$ S_2 $を$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でないセットとすると、次のステートメントが真になります-

 *$ S ^* $は閉じた凸コーンです。
* $ S \ subseteq S ^ \ {**} $ここで、$ S ^ \ {**} $は$ S ^ * $の極円錐です。
* $ S_1 \ subseteq S_2 \ Rightarrow S _ \ {2} ^ \ {*} \ subseteq S _ \ {1} ^ \ {*} $。

証明

• ステップ1 *-$ S ^ * = \ left \\ {p \ in \ mathbb \ {R} ^ n、p ^ Tx \ leq 0 \：\ forall \：x \ in S \ right \} $

 *$ x_1、x_2 \ in S ^* \ Rightarrow x _ \ {1} ^ \ {T} x \ leq 0 $および$ x _ \ {2} ^ \ {T} x \ leq 0、\ forall x \ in S $
+ For $ \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）、\ left [\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right] ^ Tx = \ left [\ left（\ lambda x_1 \ right）^ T + \ left \\ {\ left（1- \ lambda \ right）x _ \ {2} \ right \} ^ \ {T} \ right] x、\ forall x \ in S $ + $ = \ left [\ lambda x _ \ {1} ^ \ {T} + \ left（1- \ lambda \ right）x _ \ {2} ^ \ {T} \ right] x = \ lambda x _ \ {1} ^ \ {T } x + \ left（1- \ lambda \ right）x _ \ {2} ^ \ {T} \ leq 0 $ +したがって$ \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x _ \ {2} \ in S ^ *$ +したがって、$ S ^* $は凸集合です。
 *$ \ lambda \ geq 0、p ^ \ {T} x \ leq 0の場合、\ forall \：x \ in S $
+したがって、$ \ lambda p ^ T x \ leq 0、$ + $ \ Rightarrow \ left（\ lambda p \ right）^ T x \ leq 0 $ + $ \ Rightarrow \ lambda p \ in S ^* $ +したがって、$ S ^ * $は円錐です。
 *$ S ^* $が閉じていることを表示するには、つまり、$ p_n \ rightarrow p $が$ n \ rightarrow \ infty $である場合、$ p \ in S ^ *$
+ $ \ forall x \ in S、p _ \ {n} ^ \ {T} xp ^ T x = \ left（p_n-p \ right）^ T x $ + As $ p_n \ rightarrow p $ as $ n \ rightarrow \ infty \ Rightarrow \ left（p_n \ rightarrow p \ right）\ rightarrow 0 $ +したがって、$ p _ \ {n} ^ \ {T} x \ rightarrow p ^ \ {T} x $。 しかし、$ p _ \ {n} ^ \ {T} x \ leq 0、\：\ forall x \ in S $ +したがって、$ p ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S $ + $ \ Rightarrow p \ in S ^* $ +したがって、$ S ^ * $は閉じられます。

ステップ2 *-$ S ^ \ {*} = \ left \\ {q \ in \ mathbb \ {R} ^ n：q ^ T p \ leq 0、\ forall p \ in S ^ *\ right \ } $

$ x \ in S $、次に$ \ forall p \ in S ^* 、p ^ T x \ leq 0 \ Rightarrow x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow x \ in S ^ \ {**} $とする

したがって、$ S \ subseteq S ^ \ {**} $

• ステップ3 *-$ S_2 ^ *= \ left \\ {p \ in \ mathbb \ {R} ^ n：p ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_2 \ right \} $

$ S_1 \ subseteq S_2 \ Rightarrow \ forall x \ in S_2 \ Rightarrow \ forall x \ in S_1 $以降

したがって、$ \ hat \ {p} \ in S_2 ^* の場合、$ then $ \ hat \ {p} ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_2 $

$ \ Rightarrow \ hat \ {p} ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_1 $

$ \ Rightarrow \ hat \ {p} ^ T \ in S_1 ^ *$

$ \ Rightarrow S_2 ^* \ subseteq S_1 ^ *$

定理

Cを空でない閉じた凸コーンとし、$ C = C ^* * $とする

証明

$ C = C ^ \ {**} $前の補題による。

証明するには：$ x \ in C ^ \ {**} \ subseteq C $

$ x \ in C ^ \ {**} $とし、$ x \ notin C $とします

次に、基本的な分離定理により、ベクトル$ p \ neq 0 $とスカラー$ \ alpha $が存在し、$ p ^ Ty \ leq \ alpha、\ forall y \ in C $

したがって、$ p ^ Tx> \ alpha $

しかし、$ \ left（y = 0 \ right）\ in C $および$ p ^ Ty \ leq \ alphaなので、\ forall y \ in C \ Rightarrow \ alpha \ geq 0 $および$ p ^ Tx> 0 $

$ p \ notin C ^ *$の場合、$ p ^ T \ bar \ {y}> 0 $および$ p ^ T \ left（\ lambdaのような$ \ bar \ {y} \ in C $が存在します。 \ bar \ {y} \ right）$は、$ \ lambda $を十分に大きくすることにより、任意に大きくすることができます。

これは、$ p ^ Ty \ leq \ alpha、\ forall y \ in C $

したがって、$ p \ in C ^* $

$ x \ in C ^ = \ left \\ {q：q ^ Tp \ leq 0なので、\ forall p \ in C ^ \ right \} $

したがって、$ x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow p ^ Tx \ leq 0 $

しかし、$ p ^ Tx> \ alpha $

したがって、矛盾です。

したがって、$ x \ in C $

したがって、$ C = C ^ \ {**} $です。