凸最適化-ノルム

ノルムは、ベクトルまたは変数に厳密に正の値を与える関数です。

ノルムは関数$ f：\ mathbb \ {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb \ {R} $

規範の基本的な特徴は次のとおりです-

$ X $を$ X \ in \ mathbb \ {R} ^ n $のようなベクトルとする

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \：x \ in Xおよび\：\ alpha \：is \：a \：scalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \右\ | \ forall x、y \ in X $
$ \ left \ | x-y \ right \ | \ geq \ left \ | \左\ | x \ right \ |-\ left \ | y \右\ | \ right \ | $

定義により、ノルムは次のように計算されます-

$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left（\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right）^ \ {\ frac \ {1} \ {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left（\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right）^ \ {\ frac \ {1} \ {p}} 、1 \ leq p \ leq \ infty $

ノルムは連続関数です。

証明

定義により、$ X \ Rightarrow f \ left（x_n \ right）\ rightarrow f \ left（x \ right）$の$ x_n \ rightarrow x $の場合、$ f \ left（x \ right）$は定数関数です。

$ f \ left（x \ right）= \ left \ |とするx \ right \ | $

したがって、$ x_n \ rightarrow x $なので、$ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

したがって、$ \ left | f \ left（x_n \ right）-f \ left（x \ right）\ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left（x_n \ right）-f \ left（x \ right）\ right | = 0 \ Rightarrow f \ left（x_n \ right）\ rightarrow f \ left（x \ right）$

したがって、ノルムは連続関数です。

Convex-optimization-norm

凸最適化-ノルム

証明