Convex-optimization-fritz-john-conditions
凸最適化-フリッツジョン条件
必要条件
定理
次の問題を考慮してください-$ min f \ left（x \ right）$ $ x \ in X $（Xは$ \ mathbb \ {R} ^ n $のオープンセットで、$ g_i \ left（x \ right） ）\ leq 0、\ forall i = 1,2、…. m $。
$ f：X \ rightarrow \ mathbb \ {R} $および$ g_i：X \ rightarrow \ mathbb \ {R} $とする
$ \ hat \ {x} $を実行可能なソリューションとし、fおよび$ g_i、i \ in I $を$ \ hat \ {x} $および$ g_iで微分可能とし、i \ in J $を$ \で連続させるhat \ {x} $。
$ \ hat \ {x} $が上記の問題をローカルで解決する場合、$ u_0、u_i \ in \ mathbb \ {R}、i \ in I $が存在し、$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ { x} \ right）+ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left（\ hat \ {x} \ right）$ = 0
ここで、$ u_0、u_i \ geq 0、i \ in I $および$ \ left（u_0、u_I \ right）\ neq \ left（0,0 \ right）$
さらに、$ g_i、i \ in J $も$ \ hat \ {x} $で微分可能であれば、上記の条件は次のように記述できます-
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）+ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left（\ hat \ {x} \ right）= 0 $
$ u_ig_i \ left（\ hat \ {x} \ right）$ = 0
$ u_0、u_i \ geq 0、\ forall i = 1,2、….、m $
$ \ left（u_0、u \ right）\ neq \ left（0,0 \ right）、u = \ left（u_1、u_2、s、u_m \ right）\ in \ mathbb \ {R} ^ m $
備考
- $ u_i $はラグランジュ乗数と呼ばれます。
- $ \ hat \ {x} $が与えられた問題に対して実行可能であるという条件は、主実行可能条件と呼ばれます。
- 要件$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）+ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left（x \ right）= 0 $が呼び出されます二重実行可能条件。
- 条件$ u_ig_i \ left（\ hat \ {x} \ right）= 0、i = 1、2、… m $は、相補的なスラックネス条件と呼ばれます。 この条件には、$ u_i = 0、i \ in J $が必要です
- 主な実行可能条件、二重実行可能条件、および補完的なスラックネスを合わせて、フリッツ・ジョン条件と呼びます。
十分な条件
定理
$ \ hat \ {x} N_ \ varepsilon \ left（\ hat \ {x} \ right）の$ \ varepsilon $近傍が存在する場合、\ varepsilon> 0 $で、fが$ N_ \ varepsilon上の擬似凸である\ left（\ hat \ {x} \ right）\ cap S $および$ g_i、i \ in I $は、厳密に$ N_ \ varepsilon \ left（\ hat \ {x} \ right）\ cap S $上の擬似凸$ \ hat \ {x} $は、上記の問題に対するローカル最適ソリューションです。 fが$ \ hat \ {x} $で擬似凸であり、$ g_iである場合、i \ in I $は、厳密に擬似凸であり、$ \ hat \ {x}での準凸関数であり、\ hat \ {x} $はグローバル最適解です。上記の問題に。
例
- $ min \：f \ left（x_1、x_2 \ right）= \ left（x_1-3 \ right）^ 2 + \ left（x_2-2 \ right）^ 2 $ + $ x _ \ {1} ^ \ {2} + x _ \ {2} ^ \ {2} \ leq 5、x_1 + 2x_2 \ leq 4、x_1、x_2 \ geq 0 $ And $ \ hat \ {x } = \ left（2,1 \ right）$ + $ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）= x _ \ {1} ^ \ {2} + x _ \ {2} ^ \ {2} -5、 $ + $ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）= x_1 + 2x_2-4、$ + $ g_3 \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_1 $および$ g_4 \ left（x_1、x_2 \ right）= -x_2 $。 したがって、上記の制約は次のように記述できます- $ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$ + $ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$ + $ g_3 \ left（ x_1、x_2 \ right）\ leq 0 $ and + $ g_4 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0 $したがって、$ I = \ left \\ {1,2 \ right \} $したがって、$ u_3 = 0、u_4 = 0 $ + $ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）= \ left（2、-2 \ right）、\ bigtriangledown g_1 \ left（\ hat \ {x} \ right） = \ left（4,2 \ right）$および$ \ bigtriangledown g_2 \ left（\ hat \ {x} \ right）= \ left（1,2 \ right）$ したがって、これらの値をフリッツの最初の条件に入れる-ジョン条件、- $ u_0 = \ frac \ {3} \ {2} u_2、\：\：u_1 = \ frac \ {1} \ {2} u_2、$を取得し、$ u_2 = 1 $とします。したがって、$ u_0 = \ frac \ {3} \ {2}、\：\：u_1 = \ frac \ {1} \ {2} $ + Fritz Johnの条件は満たされます。
- $ min f \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_1 $。 + $ x_2- \ left（1-x_1 \ right）^ 3 \ leq 0 $、+ $ -x_2 \ leq 0 $および$ \ hat \ {x} = \ left（1,0 \ right）$ + $ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）= x_2- \ left（1-x_1 \ right）^ 3 $、+ $ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_2 $ したがって、上記の制約は- $ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$ + $ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$ このように、$ I = \ left \\ {1 、2 \ right \} $ + $ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）= \ left（-1,0 \ right）$ + $ \ bigtriangledown g_1 \ left（\ hat \ {x} \ right）= \ left（0,1 \ right）$および$ g_2 \ left（\ hat \ {x} \ right）= \ left（0、-1 \ right）$ +これらの値を最初の条件に入れるFritz-John条件の場合、次のようになります- $ u_0 = 0、\：\：u_1 = u_2 = a> 0 $ +したがって、Fritz John条件は満たされます。
