Convex-optimization-direction

凸最適化-方向

Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の閉じた凸集合とします。 ゼロでないベクトル$ d \ in \ mathbb \ {R} ^ n $は、各$ x \ in S、x + \ lambda d \ in S、\ forall \ lambda \ geq 0. $の場合、Sの方向と呼ばれます。

• Sの$ d_1 $と$ d_2 $の2つの方向は、$ \ alpha> 0 $に対して$ d \ neq \ alpha d_2 $の場合に別個と呼ばれます。
• $ S $の方向$ d $は、2つの異なる方向の正の線形結合として書き込めない場合、つまり、$ \ lambda _1に対して$ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $の場合、極端な方向と呼ばれます。ラムダ_2> 0 $、次に$ d_1 = \ alpha d_2 $をいくつかの$ \ alpha $に対して。
• その他の方向は、極端な方向の正の組み合わせとして表すことができます。
• 凸集合$ S $の場合、一部の$ x \ in S $の$ x + \ lambda d \ in S $およびすべての$ \ lambda \ geq0 $のような方向dは、$ S $の*劣性*と呼ばれます。
• Eを、$ \ mathbb \ {R} ^ n $の非空の凸集合S上の特定の関数$ f：S \ rightarrow $が最大値に達する点の集合とし、$ E $を露出面と呼びます$ S $。 露出面の方向は露出方向と呼ばれます。
• 方向が極端な方向である光線は、極端光線と呼ばれます。

例

関数$ f \ left（x \ right）= y = \ left | x \ right | $を考えます。ここで、$ x \ in \ mathbb \ {R} ^ n $です。 dを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の単位ベクトルとする

次に、dは関数fの方向です。これは、$ \ lambda \ geq 0の場合、x + \ lambda d \ in f \ left（x \ right）$であるためです。