Convex-optimization-differentiable-quasiconvex-function
微分可能な準凸関数
定理
Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の非空の凸集合とし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb \ {R} $をSで微分可能にし、任意の$ x_1の場合に限りfを準凸にします。 、x_2 \ in S $および$ f \ left（x_1 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$、$ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \右）\ leq 0 $
証明
fを準凸関数とする。
$ x_1、x_2 \ in S $を$ f \ left（x_1 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$とする
$ x_2でのfの微分可能性により、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$
$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）= f \ left（x_2 + \ lambda \ left（x_1-x_2 \ right）\ right）= f \ left（x_2 \ right ）+ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）$
$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left（x_2、\ lambda \ left（x_1-x_2 \ right）\ right）$
$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）-f \ left（x_2 \ right）-f \ left（x_2 \ right）= \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）$
$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left（x2、\ lambda \ left（x_1-x_2 \ right）\ right）$
ただし、fは準凸であるため、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$
$ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）+ \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left（x_2、\ lambda \ left（x_1、x_2 \ right）\ right）\ leq 0 $
しかし、$ \ alpha \ left（x_2、\ lambda \ left（x_1、x_2 \ right）\ right）\ rightarrow 0 $ as $ \ lambda \ rightarrow 0 $
したがって、$ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）\ leq 0 $
逆
$ x_1、x_2 \ in S $および$ f \ left（x_1 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$、$ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）^ T \ left（x_1、 x_2 \ right）\ leq 0 $
fが準凸であることを示すために、つまり$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$
矛盾による証明
ある$ \ lambda \ inに対して$ f_left（x_2 \ right）<f \ left（x_3 \ right）$となる$ x_3 = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $が存在すると仮定\ left（0、1 \ right）$
$ x_2 $および$ x_3の場合、\ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_2-x_3 \ right）\ leq 0 $
$ \ Rightarrow-\ lambda \ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_2-x_3 \ right）\ leq 0 $
$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）\ geq 0 $
$ x_1 $および$ x_3、\ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_1-x_3 \ right）\ leq 0 $の場合
$ \ Rightarrow \ left（1- \ lambda \ right）\ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）\ leq 0 $
$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）\ leq 0 $
したがって、上記の方程式から、$ \ bigtriangledown f \ left（x_3 \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）= 0 $
定義$ U = \ left \\ {x：f \ left（x \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）、x = \ mu x_2 + \ left（1- \ mu \ right）x_3、\ mu \ in \ left（0,1 \ right）\ right \} $
したがって、$ x_0 = \ mu_0 x_2 = \ mu x_2 + \ left（1- \ mu \ right）x_3 $が$ \ mu _0 \ in \ left（0,1 \ rightとなるような$ x_0 \ in U $を見つけることができます。 ）$ x_3 $および$ \ hat \ {x}に最も近い\ in \ left（x_0、x_1 \ right）$平均値定理により、
\ frac \ {f \ left（x_3 \ right）-f \ left（x_0 \ right）} \ {x_3-x_0} = \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）
\ Rightarrow f \ left（x_3 \ right）= f \ left（x_0 \ right）+ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）^ T \ left（x_3-x_0 \ right）
\ Rightarrow f \ left（x_3 \ right）= f \ left（x_0 \ right）+ \ mu_0 \ lambda f \ left（\ hat \ {x} \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）
$ x_0 $は$ x_1 $と$ x_2 $と$ f \ left（x_2 \ right）<f \ left（\ hat \ {x} \ right）$の組み合わせであるため
開始手順を繰り返すことにより、$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x} \ right）^ T \ left（x_1-x_2 \ right）= 0 $
したがって、上記の方程式を組み合わせると、次のようになります。
f \ left（x_3 \ right）= f \ left（x_0 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）
\右矢印f \ left（x_3 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）
したがって、それは矛盾です。
例
- ステップ1 *-$ f \ left（x \ right）= X ^ 3 $
$ Let f \ left（x_1 \ right）\ leq f \ left（x_2 \ right）$
$ \ Rightarrow x _ \ {1} ^ \ {3} \ leq x _ \ {2} ^ \ {3} \ Rightarrow x_1 \ leq x_2 $
$ \ bigtriangledown f \ left（x_2 \ right）\ left（x_1-x_2 \ right）= 3x _ \ {2} ^ \ {2} \ left（x_1-x_2 \ right）\ leq 0 $
したがって、$ f \ left（x \ right）$は準凸です。
- ステップ2 *-$ f \ left（x \ right）= x _ \ {1} ^ \ {3} + x _ \ {2} ^ \ {3} $
$ \ hat \ {x_1} = \ left（2、-2 \ right）$および$ \ hat \ {x_2} = \ left（1、0 \ right）$とする
したがって、$ f \ left（\ hat \ {x_1} \ right）= 0、f \ left（\ hat \ {x_2} \ right）= 1 \ Rightarrow f \ left（\ hat \ {x_1} \ right）\ setminus <f \ left（\ hat \ {x_2} \ right）$
したがって、$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat \ {x_2} \ right）^ T \ left（\ hat \ {x_1}-\ hat \ {x_2} \ right）= \ left（3、0 \ right）^ T \ left（1、-2 \ right）= 3> 0 $
したがって、$ f \ left（x \ right）$は準凸ではありません。
