Convex-optimization-cones

凸最適化-コーン

$ \ mathbb \ {R} ^ n $の非空集合Cは、$ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $の場合、頂点0の円錐であると言われます。

集合Cは、円錐と同様に凸である場合、凸円錐です。

たとえば、$ y = \ left | x \ right | $は凸ではないため、凸円錐ではありません。

しかし、$ y \ geq \ left | x \ right | $は、円錐であると同時に凸でもあるため、凸円錐です。

注-コーンCは、$ x、y \ in C、x + y \ in C $の場合にのみ凸です。

証明

Cは円錐であるため、$ x、y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $および$ \ mu y \ in C \：\ forall \：\ lambda、\ mu \ geq 0 $

Cが凸の場合、\\ lambda x + \ left（1- \ lambda \ right）y \ in C \：\ forall \：\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$

Cは円錐なので、$ \ lambda x \ in C $および$ \ left（1- \ lambda \ right）y \ in C \ Leftrightarrow x、y \ in C $

したがって、$ x + y \ in C $の場合、Cは凸です。

一般に、$ x_1、x_2 \ in C $の場合、$ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C、\ forall \ lambda_1、\ lambda_2 \ geq 0 $

例

• $ \ mathbb \ {R} ^ n $のベクトルの無限集合の円錐組み合わせは、凸円錐です。
• 空のセットはすべて凸コーンです。
• すべての線形関数は凸円錐です。
• 超平面は線形であるため、凸円錐でもあります。
• 閉じた半空間も凸円錐です。

注-2つの凸円錐の交点は凸円錐ですが、その結合は凸円錐である場合とそうでない場合があります。