Convex-optimization-affine-set

凸最適化-アフィンセット

任意の2つの点について、これらの点を通る線がセット$ A $内にある場合、セット$ A $はアフィンセットと呼ばれます。

注-

• $ S $は、ポイントのすべてのアフィンの組み合わせが含まれている場合にのみ、アフィンセットです。
• 空のセットおよびシングルトンのセットは、アフィンおよび凸の両方のセットです。 +たとえば、線形方程式の解はアフィンセットです。

証明

Sを線形方程式の解とする。

定義により、$ S = \ left \\ {x \ in \ mathbb \ {R} ^ n：Ax = b \ right \} $

$ x_1、x_2を\ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $および$ Ax_2 = b $とする

証明するために：$ A \ left [\ theta x_1 + \ left（1- \ theta \ right）x_2 \ right] = b、\ forall \ theta \ in \ left（0,1 \ right）$

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left（1- \ theta \ right）x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left（1- \ theta \ right）Ax_2 = \ theta b + \ left（1- \ theta \ right ）b = b $

したがって、Sはアフィンセットです。

定理

$ C $がアフィンセットで、$ x_0 \ in C $の場合、セット$ V = C-x_0 = \ left \\ {x-x_0：x \ in C \ right \} $はCの部分空間です。

証明

$ x_1、x_2 \ in V $とする

表示するには：$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ for some $ \ alpha、\ beta $

Vの定義により、$ x_1 + x_0 \ in C $および$ x_2 + x_0 \ in C $

今、$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left（x_1 + x_0 \ right）+ \ beta \ left（x_2 + x_0 \ right）+ \ left（1- \ alpha-\ beta \ right）x_0 $

しかし、$ \ alpha \ left（x_1 + x_0 \ right）+ \ beta \ left（x_2 + x_0 \ right）+ \ left（1- \ alpha-\ beta \ right）x_0 \ in C $はCがアフィン集合であるため。

したがって、$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

したがって証明した。