Control-systems-time-domain-specifications
時間領域の仕様
この章では、2次システムの時間領域の仕様について説明します。 減衰不足の場合の2次システムのステップ応答を次の図に示します。
すべての時間領域の仕様がこの図に示されています。 整定時間までの応答は過渡応答と呼ばれ、整定時間後の応答は定常状態応答と呼ばれます。
遅延時間
応答がゼロの瞬間から*その最終値の半分*に達するのに必要な時間です。 $ t_d $で示されます。
「δ」がゼロと1の間にあるとき、t≥0の2次システムのステップ応答を考えます。
c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）
ステップ応答の最終値は1です。
したがって、$ t = t_d $では、ステップ応答の値は0.5になります。 上の式のこれらの値を代入してください。
c（t_d）= 0.5 = 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_d}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_d + \ theta）
$$ \ Rightarrow \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_d}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_d + \ theta）= 0.5 $ $
線形近似を使用すると、次のように*遅延時間t〜d〜*が得られます。
t_d = \ frac \ {1 + 0.7 \ delta} \ {\ omega_n}
立ち上がり時間
応答が最終値の* 0％から100％に上昇するのに必要な時間です。 これは、*減衰システム*に適用されます。 過減衰システムの場合、最終値の10％〜90％の期間を考慮してください。 立ち上がり時間は t〜r〜*で示されます。
t = t〜1〜= 0、c（t）= 0で。
ステップ応答の最終値は1であることを知っています。
したがって、$ t = t_2 $では、ステップ応答の値は1です。 代わりに、これらの値は次の式で表されます。
c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）
c（t_2）= 1 = 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_2}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）
$$ \ Rightarrow \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_2}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）= 0 $ $
\右矢印\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）= 0
\右矢印\ omega_dt_2 + \ theta = \ pi
\ Rightarrow t_2 = \ frac \ {\ pi- \ theta} \ {\ omega_d}
t〜1〜およびt〜2〜の値を次の rise time の方程式に代入します。
t_r = t_2-t_1
\ therefore \：t_r = \ frac \ {\ pi- \ theta} \ {\ omega_d}
上記の式から、立ち上がり時間$ t_r $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例していると結論付けることができます。
ピーク時
応答が初めて*ピーク値*に達するのに必要な時間です。 $ t_p $で示されます。 $ t = t_p $では、応答の最初の導関数はゼロです。
減衰不足の場合の2次システムのステップ応答は次のとおりです。
c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）
「t」に関して$ c（t）$を微分します。
\ frac \ {\ text \ {d} c（t）} \ {\ text \ {d} t} =-\ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ omega_d \ cos（\ omega_dt + \ theta）-\ left（\ frac \ {-\ delta \ omega_ne ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \ theta）
上記の式の$ t = t_p $および$ \ frac \ {\ text \ {d} c（t）} \ {\ text \ {d} t} = 0 $を代入します。
0 =-\ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_p}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ left [\ omega_d \ cos（\ omega_dt_p + \シータ）-\ delta \ omega_n \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）\ right]
\右矢印\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} \ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ delta \ omega_n \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0
\ Rightarrow \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} \ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ delta \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0
\右矢印\ sin（\ theta）\ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ cos（\ theta）\ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0
\右矢印\ sin（\ theta- \ omega_dt_p- \ theta）= 0
\ Rightarrow sin（-\ omega_dt_p）= 0 \ Rightarrow-\ sin（\ omega_dt_p）= 0 \ Rightarrow sin（\ omega_dt_p）= 0
\右矢印\ omega_dt_p = \ pi
\ Rightarrow t_p = \ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d}
上記の式から、ピーク時間$ t_p $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例していると結論付けることができます。
ピークオーバーシュート
ピークオーバーシュート* M〜p〜*は、応答の最終値からのピーク時の応答の偏差として定義されます。 *最大オーバーシュート*とも呼ばれます。
数学的には、次のように書くことができます
M_p = c（t_p）-c（\ infty）
どこで、
c（t〜p〜）は、応答のピーク値です。
c（∞）は、応答の最終（定常状態）値です。
$ t = t_p $では、応答c（t）は-
c（t_p）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_p}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_p + \シータ）
上記の式の右辺にある$ t_p = \ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} $に置き換えます。
c（t_P）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_n \ left（\ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} \ right）}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin \ left（\ omega_d \ left（\ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} \ right）+ \ theta \ right）
\ Rightarrow c（t_p）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）（-\ sin（\ theta））
私達はことを知っています
\ sin（\ theta）= \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}
したがって、次のように$ c（t_p）$を取得します。
c（t_p）= 1 + e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}
ピークオーバーシュート方程式の$ c（t_p）$および$ c（\ infty）$の値を代入します。
M_p = 1 + e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}-1
\ Rightarrow M_p = e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}
ピークオーバーシュートの割合％ $ M_p $は、この式を使用して計算できます。
\％M_p = \ frac \ {M_p} \ {c（\ infty）} \ times 100 \％
上記の式で$ M_p $と$ c（\ infty）$の値を代入すると、ピークオーバーシュートの割合$ \％M_p $が次のようになります。
\％M_p = \ left（e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）} \ right）\ times 100 \％
上記の式から、減衰比$ \ delta $が増加すると、ピークオーバーシュート$ \％M_p $の割合が減少すると結論付けることができます。
整定時間
応答が定常状態に到達し、最終値の周りの指定された許容範囲内に留まるのに必要な時間です。 一般に、許容範囲は2％と5％です。 整定時間は$ t_s $で示されます。
5％の許容帯域の整定時間は-
t_s = \ frac \ {3} \ {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau
2％の許容範囲の整定時間は-
t_s = \ frac \ {4} \ {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau
ここで、$ \ tau $は時定数で、$ \ frac \ {1} \ {\ delta \ omega_n} $と等しくなります。
- 整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は、減衰比$ \ delta $に反比例します。
- 整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は、システムゲインに依存しません。 つまり、システムのゲインが変更されても、整定時間$ t_s $および時定数$ \ tau $は変更されません。
例
単位ステップ信号がこの制御システムへの入力として適用されるとき、閉ループ伝達関数$ \ frac \ {4} \ {s ^ 2 + 2s + 4} $を持つ制御システムの時間領域仕様を見つけましょう。 。
二次閉ループ制御システムの伝達関数の標準形は
\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}
これら2つの伝達関数を等式化することにより、減衰のない固有振動数$ \ omega_n $を2ラジアン/秒、減衰比$ \ delta $を0.5として取得します。
減衰周波数$ \ omega_d $の公式は
\ omega_d = \ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}
上の式の$ \ omega_n $および$ \ delta $の値を代入します。
\ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt \ {1-（0.5）^ 2}
\右矢印\ omega_d = 1.732 \：rad/sec
置換、次の関係の$ \ delta $値
\ theta = \ cos ^ \ {-1} \ delta
\右矢印\ theta = \ cos ^ \ {-1}（0.5）= \ frac \ {\ pi} \ {3} \：rad
各時間領域仕様の式で上記の必要な値を代入し、与えられた伝達関数の時間領域仕様の値を取得するために単純化します。
次の表に、時間領域の仕様の公式、必要な値の置換、および最終値を示します。
| Time domain specification | Formula | Substitution of values in Formula | Final value |
|---|---|---|---|
| Delay time | $t_d=\frac\{1+0.7\delta}\{\omega_n}$ | $t_d=\frac\{1+0.7(0.5)}{2}$ | $t_d$=0.675 sec |
| Rise time | $t_r=\frac\{\pi-\theta}\{\omega_d}$ | $t_r=\frac\{\pi-(\frac\{\pi}{3})}\{1.732}$ | $t_r$=1.207 sec |
| Peak time | $t_p=\frac\{\pi}\{\omega_d}$ | $t_p=\frac\{\pi}\{1.732}$ | $t_p$=1.813 sec |
| % Peak overshoot | $\%M_p=\left( e^\{-\left (\frac\{\delta\pi}\{\sqrt\{1-\delta^2}} \right ) }\right )\times 100\%$ | $\%M_p=\left( e^\{-\left (\frac\{0.5\pi}\{\sqrt\{1-(0.5)^2}} \right ) }\right )\times 100\%$ | $\% \: M_p$=16.32% |
| Settling time for 2% tolerance band | $t_s=\frac{4}\{\delta\omega_n}$ | $t_S=\frac{4}\{(0.5)(2)}$ | $t_s$=4 sec |
