Control-systems-steady-state-errors
制御システム-定常状態エラー
定常状態中の制御システムの出力の望ましい応答からの偏差は、*定常状態誤差*として知られています。 $ e _ \ {ss} $として表されます。 次のように、最終値定理を使用して定常状態エラーを見つけることができます。
e _ \ {ss} = \ lim _ \ {t \ to \ infty} e（t）= \ lim _ \ {s \ to 0} sE（s）
どこで、
E（s）はエラー信号のラプラス変換、$ e（t）$
ユニティフィードバックおよび非ユニティフィードバック制御システムの定常状態エラーを1つずつ見つける方法について説明します。
Unityフィードバックシステムの定常状態エラー
次の閉ループ制御システムのブロック図を考えてみましょう。これには、ユニティフィードバックがあります。
どこで、
- R（s）は、参照入力信号$ r（t）$のラプラス変換です。
- C（s）は、出力信号$ c（t）$のラプラス変換です。
ユニティ負帰還閉ループ制御システムの伝達関数は
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}
\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}
加算ポイントの出力は-
E（s）= R（s）-C（s）
上記の式で$ C（s）$値を代入します。
E（s）= R（s）-\ frac \ {R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}
\ Rightarrow E（s）= \ frac \ {R（s）+ R（s）G（s）-R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}
\ Rightarrow E（s）= \ frac \ {R（s）} \ {1 + G（s）}
定常状態誤差の式に$ E（s）$値を代入
e _ \ {ss} = \ lim _ \ {s \ to 0} \ frac \ {sR（s）} \ {1 + G（s）}
次の表は、単位ステップ、単位ランプ、単位放物線信号などの標準入力信号の定常状態誤差と誤差定数を示しています。
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
| unit step signal | $\frac{1}\{1+k_p}$ | $K_p=\lim_\{s \to 0}G(s)$ |
| unit ramp signal | $\frac{1}{K_v}$ | $K_v=\lim_\{s \to 0}sG(s)$ |
| unit parabolic signal | $\frac{1}{K_a}$ | $K_a=\lim_\{s \to 0}s^2G(s)$ |
ここで、$ K_p $、$ K_v $、および$ K_a $は、それぞれ位置誤差定数、速度誤差定数、および加速度誤差定数です。
注-上記の入力信号のいずれかが1以外の振幅を持っている場合、対応する定常状態誤差をその振幅で乗算します。
注-単位インパルス信号の定常状態誤差は、原点にのみ存在するため定義できません。 したがって、インパルス応答を単位インパルス入力と比較することはできません。 t は無限を示します。
例
入力信号$ r（t）= \ left（5 + 2t + \ frac \ {t ^ 2} \ {2} \ right）u（t）$の定常状態誤差を見つけましょう$ G（s）= \ frac \ {5（s + 4）} \ {s ^ 2（s + 1）（s + 20）} $
与えられた入力信号は、3つの信号ステップ、ランプおよび放物線の組み合わせです。 次の表は、これら3つの信号の誤差定数と定常状態誤差値を示しています。
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
| $r_1(t)=5u(t)$ | $K_p=\lim_\{s \to 0}G(s)=\infty$ | $e_{ss1}=\frac{5}\{1+k_p}=0$ |
| $r_2(t)=2tu(t)$ | $K_v=\lim_\{s \to 0}sG(s)=\infty$ | $e_{ss2}=\frac{2}{K_v}=0$ |
| $r_3(t)=\frac\{t^2}{2}u(t)$ | $K_a=\lim_\{s \to 0}s^2G(s)=1$ | $e_{ss3}=\frac{1}{k_a}=1$ |
上記の3つの定常状態エラーを追加することにより、全体的な定常状態エラーを取得します。
e _ \ {ss} = e _ \ {ss1} + e _ \ {ss2} + e _ \ {ss3}
\ Rightarrow e _ \ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1
したがって、この例では 1 として定常状態エラー$ e _ \ {ss} $が発生しました。
非ユニティフィードバックシステムの定常状態エラー
次の閉ループ制御システムのブロック図を考えてみましょう。これには、非ユニティの負のフィードバックがあります。
ユニティフィードバックシステムでのみ定常状態エラーを見つけることができます。 したがって、非ユニティフィードバックシステムをユニティフィードバックシステムに変換する必要があります。 このため、上記のブロック図に1つの正のフィードバックパスと1つの負のフィードバックパスを含めます。 新しいブロック図は次のようになります。
ユニティネガティブフィードバックをそのままにして、上記のブロック図を単純化します。 以下は、簡略化されたブロック図です。
このブロック図は、単一の負帰還閉ループ制御システムのブロック図に似ています。 ここで、単一ブロックは、$ G（s）$の代わりに伝達関数$ \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）-G（s）} $を持っています。 これで、ユニティネガティブフィードバックシステムに与えられた定常状態誤差の式を使用して、定常状態誤差を計算できます。
注-不安定な閉ループシステムの定常状態エラーを見つけることは無意味です。 そのため、閉ループ安定システムの場合にのみ、定常状態エラーを計算する必要があります。 つまり、定常状態エラーを見つける前に、制御システムが安定しているかどうかを確認する必要があります。 次の章では、概念に関連する安定性について説明します。
