Control-systems-state-space-model
制御システム-状態空間モデル
線形時不変（LTI）システムの*状態空間モデル*は、
\ dot \ {X} = AX + BU
Y = CX + DU
1番目と2番目の方程式は、それぞれ状態方程式と出力方程式として知られています。
どこで、
- Xと$ \ dot \ {X} $は、それぞれ状態ベクトルと差分状態ベクトルです。
- UとYは、それぞれ入力ベクトルと出力ベクトルです。
- Aはシステム行列です。
- BとCは、入力行列と出力行列です。
- Dはフィードフォワード行列です。
状態空間モデルの基本概念
この章に含まれる次の基本用語。
状態
これは変数のグループであり、システムの履歴を要約して将来の値（出力）を予測します。
状態変数
必要な状態変数の数は、システムに存在するストレージ要素の数と同じです。
例-インダクタを流れる電流、コンデンサ両端の電圧
状態ベクトル
これは、状態変数を要素として含むベクトルです。
前の章で、制御システムの2つの数学モデルについて説明しました。 それらは微分方程式モデルと伝達関数モデルです。 状態空間モデルは、これら2つの数学モデルのいずれかから取得できます。 次に、これら2つの方法を1つずつ説明します。
微分方程式からの状態空間モデル
次の一連のRLC回路を検討してください。 入力電圧$ v_i（t）$を持ち、回路を流れる電流は$ i（t）$です。
この回路には、2つの蓄電素子（インダクタとコンデンサ）があります。 したがって、状態変数の数は2に等しく、これらの状態変数はインダクターを流れる電流$ i（t）$とコンデンサー両端の電圧$ v_c（t）$です。
回路からの出力電圧$ v_0（t）$は、コンデンサの電圧$ v_c（t）$に等しくなります。
v_0（t）= v_c（t）
ループの周りにKVLを適用します。
v_i（t）= Ri（t）+ L \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} + v_c（t）
\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} =-\ frac \ {Ri（t）} \ {L}-\ frac \ {v_c （t）} \ {L} + \ frac \ {v_i（t）} \ {L}
コンデンサ両端の電圧は-
v_c（t）= \ frac \ {1} \ {C} \ int i（t）dt
上記の方程式を時間に関して微分します。
\ frac \ {\ text \ {d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} = \ frac \ {i（t）} \ {C}
状態ベクトル、$ X = \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix} $
微分状態ベクトル、$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} \\\ frac \ {\ text \ {d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} \ end \ {bmatrix} $
微分方程式と出力方程式を状態空間モデルの標準形式に整理できます。
\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} \\\ frac \ {\ text \ { d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix}-\ frac \ {R} \ {L}＆-\ frac \ {1} \ {L} \\\ frac \ {1} \ {C}＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix} + \ begin \ { bmatrix} \ frac \ {1} \ {L} \\ 0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} v_i（t）\ end \ {bmatrix}
Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix}
どこで、
A = \ begin \ {bmatrix}-\ frac \ {R} \ {L}＆-\ frac \ {1} \ {L} \\\ frac \ {1} \ {C}＆0 \ end \ {bmatrix}、\：B = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {1} \ {L} \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\：C = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \：および\：D = \ begin \ {bmatrix} 0 \ end \ {bmatrix}
伝達関数からの状態空間モデル
分子に存在する項のタイプに基づいて、2種類の伝達関数を検討します。
- 分子内に定数項を持つ伝達関数。
- 分子に「s」の多項式関数を持つ伝達関数。
分子内に定数項を持つ伝達関数
システムの次の伝達関数を考えます
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {b_0} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1s + a_0}
上の式を次のように並べ替えます
（s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_0）Y（s）= b_0 U（s）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
\ frac \ {\ text \ {d} ^ ny（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + a _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + a_1 \ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ { \ text \ {d} t} + a_0y（t）= b_0 u（t）
Let
y（t）= x_1
\ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1
\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot \ {x} _2
。
。
。
\ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} = x_n = \ dot \ {x} _ \ {n-1}
\ frac \ {\ text \ {d} ^ ny（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} = \ dot \ {x} _n
および$ u（t）= u $
その後、
\ dot \ {x} _n + a _ \ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u
上記の方程式から、次の状態方程式を書くことができます。
\ dot \ {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + b_0 u
出力方程式は-
y（t）= y = x_1
状態空間モデルは-
$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \\\ vdots \\\ dot \ {x} _ \ {n-1} \ \\ dot \ {x} _n \ end \ {bmatrix} $
= \ begin \ {bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a _ \ {n-2}＆-a _ \ {n-1} \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} u \ end \ {bmatrix}
Y = \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆\ dotso＆0＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \ \ x_n \ end \ {bmatrix}
ここで、$ D = \ left [0 \ right]。$
例
伝達関数をもつシステムの状態空間モデルを見つけます。
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}
上の式を次のように並べ替えます。
（s ^ 2 + s + 1）Y（s）= U（s）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} + y（t）= u（t）
Let
y（t）= x_1
\ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1
および$ u（t）= u $
次に、状態方程式は
\ dot \ {x} _2 = -x_1-x_2 + u
出力方程式は
y（t）= y = x_1
状態空間モデルは
\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \\- 1＆-1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 1 \ end \ {bmatrix} \ left [u \ right]
Y = \ begin \ {bmatrix} 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}
分子に「s」の多項式関数を持つ伝達関数
システムの次の伝達関数を考えます
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {b_n s ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1 s + a_0}
\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ left（\ frac \ {1} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1 } + ... + a_1 s + a_0} \ right）（b_n s ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0）
上記の式は、カスケード接続された2つのブロックの伝達関数の積の形式です。
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ left（\ frac \ {V（s）} \ {U（s）} \ right）\ left（\ frac \ {Y（ s）} \ {V（s）} \ right）
ここに、
\ frac \ {V（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1 s + a_0}
上の式を次のように並べ替えます
（s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_0）V（s）= U（s）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
\ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + a _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + a_1 \ frac \ {\ text \ {d} v（t）} \ { \ text \ {d} t} + a_0v（t）= u（t）
Let
v（t）= x_1
\ frac \ {\ text \ {d} v（（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1
\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot \ {x} _2
。
。
。
\ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} = x_n = \ dot \ {x} _ \ {n-1}
\ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} = \ dot \ {x} _n
および$ u（t）= u $
次に、状態方程式は
\ dot \ {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + u
考えて、
\ frac \ {Y（s）} \ {V（s）} = b_ns ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0
上の式を次のように並べ替えます
Y（s）=（b_ns ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0）V（s）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
y（t）= b_n \ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + b _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + b_1 \ frac \ {\ text \ {d} v （t）} \ {\ text \ {d} t} + b_0v（t）
上記の方程式で状態変数と$ y（t）= y $を代入すると、出力方程式は次のようになります。
y = b_n \ dot \ {x} _n + b _ \ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1
上の式の$ \ dot \ {x} _n $値に置き換えます。
y = b_n（-a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + u）+ b _ \ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1
y =（b_0-b_na_0）x_1 +（b_1-b_na_1）x_2 + ... +（b _ \ {n-1} -b_na _ \ {n-1}）x_n + b_n u
状態空間モデルは
$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \\\ vdots \\\ dot \ {x} _ \ {n-1} \ \\ dot \ {x} _n \ end \ {bmatrix} $
= \ begin \ {bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a _ \ {n-2}＆-a _ \ {n-1} \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} u \ end \ {bmatrix}
Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b _ \ {n-2} -b_na _ \ {n-2} \ quad b _ \ {n-1} -b_na _ \ {n-1}] \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \ \ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix}
$ b_n = 0 $の場合、
Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b _ \ {n-2} \ quad b _ \ {n-1}] \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix}
