Control-systems-state-space-analysis
制御システム-状態空間解析
前の章では、微分方程式と伝達関数から状態空間モデルを取得する方法を学びました。 この章では、状態空間モデルから伝達関数を取得する方法について説明します。
状態空間モデルからの伝達関数
線形時不変（LTI）システムの状態空間モデルは-
\ dot \ {X} = AX + BU
Y = CX + DU
状態方程式の両側にラプラス変換を適用します。
sX（s）= AX（s）+ BU（s）
\ Rightarrow（sI-A）X（s）= BU（s）
\右矢印X（s）=（sI-A）^ \ {-1} BU（s）
出力方程式の両側にラプラス変換を適用します。
Y（s）= CX（s）+ DU（s）
上の式のX（s）値を代入します。
\右矢印Y（s）= C（sI-A）^ \ {-1} BU（s）+ DU（s）
\右矢印Y（s）= [C（sI-A）^ \ {-1} B + D] U（s）
\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B + D
上記の方程式は、システムの伝達関数を表します。 したがって、状態空間モデルで表されるシステムに対してこの式を使用することにより、システムの伝達関数を計算できます。
注意-$ D = [0] $の場合、伝達関数は
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B
例
状態空間モデルで表されるシステムの伝達関数を次のように計算します。
\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \ \ 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix} [u]
Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}
ここに、
A = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}、\ quad B = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\ quad C = \ begin \ {bmatrix} 0および1 \ end \ {bmatrix} \ quadおよび\ quad D = [0]
$ D = [0] $の場合の伝達関数の式は-
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B
上記の式のA、B、C行列を代入します。
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} s + 1＆1 \\-1＆ s \ end \ {bmatrix} ^ \ {-1} \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}
\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ frac \ {\ begin \ {bmatrix} s＆-1 \\ 1＆s + 1 \ end \ {bmatrix}} \ {（s + 1）s-1（-1）} \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}
\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {\ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} s \\ 1 \ end \ {bmatrix}} \ {s ^ 2 + s + 1} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}
したがって、与えられた状態空間モデルに対するシステムの伝達関数は
\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}
状態遷移行列とそのプロパティ
システムに初期条件がある場合、出力が生成されます。 この出力は、入力がない場合でも存在するため、 zero input response $ x _ \ {ZIR}（t）$と呼ばれます。 数学的には、次のように書くことができます。
x _ \ {ZIR}（t）= e ^ \ {At} X（0）= L ^ \ {-1} \ left \\ {\ left [sI-A \ right] ^ \ {-1} X （0）\ right \}
上記の関係から、状態遷移行列$ \ phi（t）$を次のように書くことができます。
\ phi（t）= e ^ \ {At} = L ^ \ {-1} [sI-A] ^ \ {-1}
したがって、状態遷移行列$ \ phi（t）$に初期条件行列を掛けることで、ゼロ入力応答を取得できます。
状態遷移マトリックスのプロパティは次のとおりです。
- $ t = 0 $の場合、状態遷移行列は単位行列と等しくなります。 + \ phi（0）= I
- 状態遷移マトリックスの逆は、「t」を「-t」で置き換えるだけで、状態遷移マトリックスの逆になります。 + \ phi ^ \ {-1}（t）= \ phi（−t）
- $ t = t_1 + t_2 $の場合、対応する状態遷移行列は、$ t = t_1 $および$ t = t_2 $での2つの状態遷移行列の乗算に等しくなります。 + \ phi（t_1 + t_2）= \ phi（t_1）\ phi（t_2）
可制御性と可観測性
次に、制御システムの可制御性と可観測性を1つずつ説明します。
可制御性
制御システムは、制御システムの初期状態が有限の持続時間で制御入力によって他の望ましい状態に転送（変更）される場合、「制御可能」であると言われます。
- カルマンのテスト*を使用して、制御システムの制御性を確認できます。
- 次の形式で行列$ Q_c $を記述します。 + Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ \ {n-1} B \ right]
- 行列$ Q_c $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは制御可能です。
可観測性
制御システムは、有限時間で出力を観察することにより制御システムの初期状態を決定できる場合、「観察可能」であると言われます。
- カルマンのテスト*を使用して、制御システムの可観測性を確認できます。
- 次の形式で行列$ Q_o $を記述します。 + Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad（A ^ T）^ 2C ^ T \ quad ... \ quad（A ^ T）^ \ {n-1} C ^ T \ right]
- 行列$ Q_o $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは観測可能です。
例
状態空間モデルで表される制御システムの可制御性と可観測性を検証してみましょう。
\ dot \ {x} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \ \ 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix} [u]
Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}
ここに、
A = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}、\ quad B = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\ quad \ begin \ {bmatrix} 0および1 \ end \ {bmatrix}、D = [0] \ quadおよび\ quad n = 2
$ n = 2 $の場合、行列$ Q_c $は
Q_c = \ left [B \ quad AB \ right]
行列AとBの積を次のように取得します。
AB = \ begin \ {bmatrix} -1 \\ 1 \ end \ {bmatrix}
\ Rightarrow Q_c = \ begin \ {bmatrix} 1＆-1 \\ 0＆1 \ end \ {bmatrix}
| Q_c | = 1 \ neq 0
行列$ Q_c $の行列式はゼロに等しくないため、指定された制御システムは制御可能です。
$ n = 2 $の場合、行列$ Q_o $は-
Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right]
ここに、
A ^ T = \ begin \ {bmatrix} -1および1 \\-1および0 \ end \ {bmatrix} \ quadおよび\ quad C ^ T = \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 1 \ end \ {bmatrix}
行列$ A ^ T $と$ C ^ T $の積を次のように取得します
A ^ TC ^ T = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}
\ Rightarrow Q_o = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}
\ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0
行列$ Q_o $の行列式はゼロに等しくないため、指定された制御システムは観測可能です。
したがって、指定された制御システムは制御可能かつ観察可能です。
