Control-systems-stability-analysis
制御システム-安定性分析
この章では、RouthHurwitz安定性基準を使用した ’s ドメインでの安定性解析について説明します。 この基準では、閉ループ制御システムの安定性を見つけるための特性方程式が必要です。
ラウツ・ハービッツ安定性基準
Routh-Hurwitz安定性基準には、安定性に必要な条件と十分な条件が1つずつあります。 制御システムが必要条件を満たさない場合、制御システムは不安定であると言えます。 しかし、制御システムが必要な条件を満たす場合、安定している場合と安定していない場合があります。 したがって、十分な条件は、制御システムが安定しているかどうかを知るのに役立ちます。
Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件
必要な条件は、特性多項式の係数が正であることです。 これは、特性方程式のすべての根が負の実数部を持つ必要があることを意味します。
次数「n」の特性方程式を考えてみましょう-
a_0s ^ n + a_1s ^ \ {n-1} + a_2s ^ \ {n-2} + ... + a _ \ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0
*n ^ th ^* 次の特性式に欠落している用語がないように注意してください。 これは、 *n ^ th ^* 次の特性方程式にゼロ値の係数が含まれていないことを意味します。Routh-Hurwitz安定性の十分条件
十分な条件は、Routh配列の最初の列のすべての要素が同じ符号を持つ必要があることです。 これは、Routh配列の最初の列のすべての要素が正または負でなければならないことを意味します。
口配列法
特性方程式のすべての根が「s」平面の左半分に存在する場合、制御システムは安定しています。 特性方程式の少なくとも1つのルートが「s」平面の右半分に存在する場合、制御システムは不安定です。 そのため、制御システムが安定か不安定かを知るために、特性方程式の根を見つける必要があります。 しかし、次数が増加するにつれて特性方程式の根を見つけることは困難です。
そこで、この問題を解決するために、 Routh array method を使用します。 この方法では、特性方程式の根を計算する必要はありません。 最初にRouthテーブルを作成し、Routhテーブルの最初の列で符号変化の数を見つけます。 Routhテーブルの最初の列の符号変化の数は、「s」平面の右半分に存在する特性方程式の根の数を示し、制御システムは不安定です。
Routhテーブルを作成するには、次の手順に従います。
- 以下の表に記載されているように、Routh配列の最初の2行に特性多項式の係数を入力します。 $ s ^ n $の係数から始めて、$ s ^ 0 $の係数まで続けます。 Routh配列の残りの行に、次の表に記載されている要素を入力します。 row $ s ^ 0 $ *の最初の列要素が$ a_n $になるまで、このプロセスを続けます。 ここで、$ a_n $は特性多項式の$ s ^ 0 $の係数です。
注-Routhテーブルの行要素に共通の因子がある場合、単純化のためにその要素で行要素を分割できます。
次の表は、n ^ th ^次の特性多項式のRouth配列を示しています。
a_0s ^ n + a_1s ^ \ {n-1} + a_2s ^ \ {n-2} + ... + a _ \ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0
| $s^n$ | $a_0$ | $a_2$ | $a_4$ | $a_6$ | … | … |
| $s^{n-1}$ | $a_1$ | $a_3$ | $a_5$ | $a_7$ | … | … |
| $s^{n-2}$ | $b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$ | $b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$ | $b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$ | … | … | … |
| $s^{n-3}$ | $c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$ | $c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$ | $\vdots$ | |||
| $\vdots $ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |||
| $s^1$ | $\vdots$ | $\vdots$ | ||||
| $s^0$ | $a_n$ |
例
特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。
s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0
- ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。
特性多項式$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $の係数はすべて正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たす。
- ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。
| $s^4$ | $1$ | $3$ | $1$ |
| $s^3$ | $3$ | $2$ | |
| $s^2$ | $\frac\{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$ | $\frac\{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$ | |
| $s^1$ | $\frac\{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}\{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$ | ||
| $s^0$ | $1$ |
- ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。
Routh配列の最初の列のすべての要素は正です。 Routh配列の最初の列に符号の変更はありません。 したがって、制御システムは安定しています。
口配列の特殊なケース
Routhテーブルを作成しているときに、2種類の状況に遭遇する可能性があります。 これら2つの状況からRouthテーブルを完成させることは困難です。
2つの特別な場合は-
- Routh配列の任意の行の最初の要素はゼロです。
- Routh配列の任意の行の要素はすべてゼロです。
次に、これら2つのケースの難しさを1つずつ克服する方法について説明します。
Routh配列の任意の行の最初の要素はゼロです
Routh配列のいずれかの行に最初の要素のみがゼロであり、残りの要素の少なくとも1つがゼロ以外の値である場合、最初の要素を小さな正の整数$ \ epsilon $に置き換えます。 そして、Routhテーブルを完成させるプロセスを続けます。 ここで、$ \ epsilon $をゼロに置き換えることにより、Routhテーブルの最初の列で符号の変化の数を見つけます。
例
特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。
s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0
- ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。
特性多項式$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $のすべての係数は正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たしました。
- ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。
| $s^4$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $s^3$ | 2 1 | 2 1 | |
| $s^2$ | $\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ | $\frac\{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$ | |
| $s^1$ | |||
| $s^0$ |
行$ s ^ 3 $要素には、共通因子として2があります。 したがって、これらの要素はすべて2で除算されます。
特殊なケース（i）-行$ s ^ 2 $の最初の要素のみがゼロです。 したがって、$ \ epsilon $に置き換えて、Routhテーブルを完成させるプロセスを続行します。
| $s^4$ | 1 | 1 | 1 |
| $s^3$ | 1 | 1 | |
| $s^2$ | $\epsilon$ | 1 | |
| $s^1$ | $\frac\{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}\{\epsilon}=\frac\{\epsilon-1}\{\epsilon}$ | ||
| $s^0$ | 1 |
- ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。
$ \ epsilon $はゼロになる傾向があるため、Routhテーブルは次のようになります。
| $s^4$ | 1 | 1 | 1 |
| $s^3$ | 1 | 1 | |
| $s^2$ | 0 | 1 | |
| $s^1$ | -∞ | ||
| $s^0$ | 1 |
Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。 したがって、制御システムは不安定です。
Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロです
この場合、これらの2つの手順に従ってください-
- ゼロの行のすぐ上にある行の補助方程式A（s）を記述します。
- 補助方程式A（s）をsに関して微分します。 これらの係数でゼロの行を埋めます。
例
特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。
s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0
- ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。
与えられた特性多項式のすべての係数は正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たしました。
- ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。
| $s^5$ | 1 | 1 | 1 |
| $s^4$ | 3 1 | 3 1 | 3 1 |
| $s^3$ | $\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ | $\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ | |
| $s^2$ | |||
| $s^1$ | |||
| $s^0$ |
行$ s ^ 4 $要素の共通因子は3です。 したがって、これらの要素はすべて3で除算されます。
特殊なケース（ii）-行$ s ^ 3 $のすべての要素はゼロです。 そのため、行$ s ^ 4 $の補助方程式A（s）を記述します。
A（s）= s ^ 4 + s ^ 2 + 1
sに関して上記の方程式を微分します。
\ frac \ {\ text \ {d} A（s）} \ {\ text \ {d} s} = 4s ^ 3 + 2s
これらの係数を$ s ^ 3 $行に配置します。
| $s^5$ | 1 | 1 | 1 |
| $s^4$ | 1 | 1 | 1 |
| $s^3$ | 4 2 | 2 1 | |
| $s^2$ | $\frac\{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$ | $\frac\{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$ | |
| $s^1$ | $\frac\{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}\{0.5}=\frac\{-1.5}\{0.5}=-3$ | ||
| $s^0$ | 1 |
- ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。
Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。 したがって、制御システムは不安定です。
Routh-Hurwitz安定性基準では、閉ループ極が「s」平面の左半分にあるのか、「s」平面の右半分にあるのか、または虚軸上にあるのかを知ることができます。 そのため、制御システムの性質を見つけることができません。 この制限を克服するために、根軌跡として知られる手法があります。 この手法については、次の2つの章で説明します。
