Control-systems-root-locus

制御システム-根軌跡

根軌跡図では、閉ループ極の経路を観察できます。 したがって、制御システムの性質を特定できます。 この手法では、閉ループ制御システムの安定性を知るために、開ループ伝達関数を使用します。

根軌跡の基礎

根軌跡は、システムゲインKをゼロから無限大まで変化させることによる特性方程式の根の軌跡です。

閉ループ制御システムの特性方程式は

1 + G（s）H（s）= 0

$ G（s）H（s）$を次のように表すことができます

G（s）H（s）= K \ frac \ {N（s）} \ {D（s）}

どこで、

• Kは乗算係数を表します
• N（s）は、（因数分解された）n ^ th ^次の「s」の多項式を持つ分子項を表します。
• D（s）は、「s」の（因数分解された）m ^ th ^次の多項式を持つ分母項を表します。

置換、特性方程式の$ G（s）H（s）$値。

1 + k \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0

\右矢印D（s）+ KN（s）= 0

• ケース1 − K = 0 *

$ K = 0 $の場合、$ D（s）= 0 $です。

つまり、Kがゼロの場合、閉ループ極は開ループ極に等しくなります。

ケース2 − K =∞

上記の特性方程式を次のように書き換えます

K \ left（\ frac \ {1} \ {K} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} \ right）= 0 \ Rightarrow \ frac \ {1} \ {K} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0

上の式の$ K = \ infty $を代入します。

\ frac \ {1} \ {\ infty} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0 \ Rightarrow \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0 \右矢印N（s）= 0

$ K = \ infty $の場合、$ N（s）= 0 $です。 これは、Kが無限大のとき、閉ループの極が開ループのゼロに等しいことを意味します。

上記の2つのケースから、根軌跡の分岐は開ループの極で始まり、開ループのゼロで終わると結論付けることができます。

角度条件と大きさ条件

根軌跡分岐上の点は、角度条件を満たします。 そのため、角度条件を使用して、ポイントが根軌跡ブランチに存在するかどうかを確認します。 マグニチュード条件を使用して、根軌跡分岐上の点のKの値を見つけることができます。 したがって、ポイントにマグニチュード条件を使用でき、これは角度条件を満たします。

閉ループ制御システムの特性方程式は

1 + G（s）H（s）= 0

\右矢印G（s）H（s）=-1 + j0

$ G（s）H（s）$の*位相角*は

\ angle G（s）H（s）= \ tan ^ \ {-1} \ left（\ frac \ {0} \ {-1} \ right）=（2n + 1）\ pi

• 角度条件*は、開ループ伝達関数の角度が180 ^ 0 ^の奇数倍になる点です。

$ G（s）H（s）$の大きさは-

| G（s）H（s）| = \ sqrt \ {（-1）^ 2 + 0 ^ 2} = 1

マグニチュード条件は、開ループ伝達関数のマグニチュードが1になる点（角度条件を満たした点）です。