Control-systems-response-second-order
二次システムの応答
この章では、2次システムの時間応答について説明します。 次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。 ここでは、開ループ伝達関数$ \ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $が単一の負帰還に接続されています。
閉ループ制御システムの伝達関数は、
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}
上記の式の$ G（s）= \ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $に置き換えます。
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ left（\ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right ）} \ {1+ \ left（\ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right）} = \ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2}
「s」の力は、分母の用語では2です。 したがって、上記の伝達関数は2次であり、システムは* 2次システム*と呼ばれます。
特性方程式は-
s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0
特性方程式の根は-
s = \ frac \ {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt \ {（2 \ delta \ omega _n）^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} \ {2} = \ frac \ {- 2（\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ {2}
\ Rightarrow s =-\ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}
- δ= 0の場合、2つの根は虚数です。
- 2つの根は実数であり、δ= 1の場合に等しくなります。
- 2つの根は実数ですが、δ> 1の場合は等しくありません。
- 0 <δ<1の場合、2つの根は複素共役です。
次のように$ C（s）$方程式を書くことができます。
C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）
どこで、
- * C（s）*は出力信号のラプラス変換c（t）
- * R（s）*は入力信号のラプラス変換、r（t）
- *ω〜n〜*は固有振動数です
- *δ*は減衰比です。
次の手順に従って、時間領域の2次システムの応答（出力）を取得します。
- 入力信号$ r（t）$のラプラス変換を行います。
- 方程式を考えてみましょう、$ C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）$
- 上記の式で$ R（s）$値を代入します。
- 必要に応じて、$ C（s）$の部分的な小数部を実行します。
- 逆ラプラス変換を$ C（s）$に適用します。
2次システムのステップ応答
単位ステップ信号を2次システムへの入力と考えてください。
単位ステップ信号のラプラス変換は、
R（s）= \ frac \ {1} \ {s}
二次閉ループ制御システムの伝達関数は、
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}
ケース1：δ= 0
代替、伝達関数の$ \ delta = 0 $。
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2}
\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）
上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。
C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s ^ 2 + \ omega_n ^ 2）}
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ left（1- \ cos（\ omega_n t）\ right）u（t）
したがって、$/delta = 0 $のときの2次システムの単位ステップ応答は、振幅と周波数が一定の連続時間信号になります。
ケース2：δ= 1
代わりに、伝達関数で$/delta = 1 $を使用します。
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}
\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）R（s）
上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。
C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ omega_n）^ 2}
$ C（s）$の部分分数を実行します。
C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ omega_n）^ 2} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {s + \ omega_n } + \ frac \ {C} \ {（s + \ omega_n）^ 2}
単純化した後、A、B、Cの値をそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：-\ omega _n $として取得します。 上記の$ C（s）$の部分分数展開でこれらの値を置き換えます。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {1} \ {s + \ omega_n}-\ frac \ {\ omega_n} \ {（s + \ omega_n）^ 2}
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）=（1-e ^ \ {-\ omega_nt}-\ omega _nte ^ \ {-\ omega_nt}）u（t）
したがって、2次システムのユニットステップ応答は、定常状態でステップ入力に到達しようとします。
ケース3：0 <δ<1
次のように伝達関数の分母項を変更することができます-
s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \\ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2
=（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）
伝達関数は、
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}
\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）R （s）
上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。
C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）\ left（ \ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2 ）\ right）}
$ C（s）$の部分分数を実行します。
C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）\ right）} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {Bs + C} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}
簡略化した後、A、B、Cの値をそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：−2 \ delta \ omega _n $として取得します。 上記のC（s）の部分分数展開でこれらの値を代入します。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {s + 2 \ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}
C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {s + \ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}-\ frac \ {\ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}
$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {（s + \ delta \ omega_n）} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 +（\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}）^ 2}-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac \ {\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2 }} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 +（\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}）^ 2} \ right）$
上記の式の$ \ omega_d $を$ \ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} $に置き換えます。
$$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {（s + \ delta \ omega_n）} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2}-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac \ {\ omega_d} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right）$ $
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ left（1-e ^ \ {-\ delta \ omega_nt} \ cos（\ omega_dt）-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} e ^ \ {-\ delta \ omega_nt} \ sin（\ omega_dt）\ right）u（t）
c（t）= \ left（1- \ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（（\ sqrt \ {1 -\ delta ^ 2}）\ cos（\ omega_dt）+ \ delta \ sin（\ omega_dt）\ right）\ right）u（t）
$ \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} = \ sin（\ theta）$の場合、「δ」はcos（θ）になります。 上記の式でこれらの値を代入します。
c（t）= \ left（1- \ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}}（\ sin（\ theta）\ cos （\ omega_dt）+ \ cos（\ theta）\ sin（\ omega_dt））\ right）u（t）
\ Rightarrow c（t）= \ left（1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \ theta）\ right）u（t）
したがって、2次システムの単位ステップ応答は、「δ」がゼロと1の間にあるときに減衰振動（振幅の減少）を起こします。
ケース4：δ> 1
次のように伝達関数の分母項を変更することができます-
s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \\ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2
= \ left（s + \ delta \ omega_n \ right）^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left（\ delta ^ 2-1 \ right）
伝達関数は、
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2- 1）}
\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2-1）} \ right）R （s）
上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。
$ C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2-（\ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）^ 2} \ right ）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}） （s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $
$ C（s）$の部分分数を実行します。
C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）}
= \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} + \ frac \ {C} \ { s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}}
単純化した後、A、B、Cの値は1として取得されます。$ \ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $および$ \ frac \ {-1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $それぞれ。 上記の$ C（s）$の部分分数展開でこれらの値を置き換えます。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s} + \ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ left（\ frac \ {1} \ {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} \ right）-\ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} \ right）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
$ c（t）= \ left（1+ \ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1} ）} \ right）e ^ \ {-（\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）t}-\ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ right）e ^ \ {-（\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1 }）t} \ right）u（t）$
それは過減衰であるため、δ> 1の場合の2次システムの単位ステップ応答は、定常状態ではステップ入力に到達しません。
二次システムのインパルス応答
2次システムの*インパルス応答*は、これら2つの方法のいずれかを使用して取得できます。
- $ R（s）$の値を$ \ frac \ {1} \ {s} $ではなく1と見なして、ステップ応答を導出しながら、関連する手順に従います。
- ステップ応答の微分を行います。
次の表は、減衰比が4つの場合の2次システムのインパルス応答を示しています。
| Condition of Damping ratio | Impulse response for t ≥ 0 |
|---|---|
| δ = 0 | $\omega_n\sin(\omega_nt)$ |
| δ = 1 | $\omega_n2te\{-\omega_nt}$ |
| 0 < δ < 1 | $\left ( \frac\{\omega_ne\{-\delta\omega_nt}}\{\sqrt\{1-\delta2}} \right )\sin(\omega_dt)$ |
| δ > 1 | $\left ( \frac\{\omega_n}\{2\sqrt\{\delta^2-1}} \right )\left ( e\{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt\{\delta2-1})t}-e\{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt\{\delta2-1})t} \right )$ |
