Control-systems-response-first-order
一次システムの応答
この章では、一次システムの時間応答について説明します。 次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。 ここでは、開ループ伝達関数$ \ frac \ {1} \ {sT} $が単一の負のフィードバックに接続されています。
閉ループ制御システムの伝達関数には、次のような負のフィードバックがあります。
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}
上記の式の$ G（s）= \ frac \ {1} \ {sT} $を代入します。
\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ frac \ {1} \ {sT}} \ {1+ \ frac \ {1} \ {sT}} = \ frac \ {1} \ {sT + 1}
sの累乗は、分母項の1つです。 したがって、上記の伝達関数は1次であり、システムは* 1次システム*と呼ばれます。
上記の式を次のように書き換えることができます。
C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）
どこで、
- * C（s）*は、出力信号c（t）のラプラス変換です。
- * R（s）*は入力信号r（t）のラプラス変換であり、
- T は時定数です。
次の手順に従って、時間領域の1次システムの応答（出力）を取得します。
- 入力信号$ r（t）$のラプラス変換を行います。
- 方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
- 上記の式で$ R（s）$値を代入します。
- 必要に応じて、$ C（s）$の部分的な小数部を実行します。
- 逆ラプラス変換を$ C（s）$に適用します。
前の章では、インパルス、ステップ、ランプ、放物線などの標準的なテスト信号を見てきました。 次に、各入力に対する1次システムの応答を1つずつ調べてみましょう。 応答の名前は、入力信号の名前に従って指定されます。 たとえば、インパルス入力に対するシステムの応答は、インパルス応答と呼ばれます。
一次システムのインパルス応答
- 単位インパルス信号*を一次システムへの入力と考えてください。
したがって、$ r（t）= \ delta（t）$
両側にラプラス変換を適用します。
$ R（s）= 1 $
方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
上記の式の代わりに、$ R（s）= 1 $を使用します。
C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）（1）= \ frac \ {1} \ {sT + 1}
ラプラス変換の標準形式の1つで上記の式を再配置します。
C（s）= \ frac \ {1} \ {T \ left（\ s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）} \ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ { T} \ left（\ frac \ {1} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}} \ right）
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ frac \ {1} \ {T} e ^ \ left（\ {-\ frac \ {t} \ {T}} \ right）u（t）
単位インパルス応答を次の図に示します。
単位インパルス応答、c（t）は、「t」の正の値に対して指数関数的に減衰する信号であり、「t」の負の値に対してゼロです。
一次システムのステップ応答
- 単位ステップ信号*を一次システムへの入力と考えてください。
したがって、$ r（t）= u（t）$
両側にラプラス変換を適用します。
R（s）= \ frac \ {1} \ {s}
方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
上記の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。
C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {1} \ { s \ left（sT + 1 \ right）}
C（s）の部分的な分数を行います。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s \ left（sT + 1 \ right）} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {sT + 1}
\ Rightarrow \ frac \ {1} \ {s \ left（sT + 1 \ right）} = \ frac \ {A \ left（sT + 1 \ right）+ Bs} \ {s \ left（sT + 1 \ right）}
両側で、分母の用語は同じです。 したがって、それらは互いにキャンセルされます。 したがって、分子項を同一視します。
1 = A \ left（sT + 1 \ right）+ Bs
両側の定数項を等しくすると、A = 1になります。
A = 1を代入し、両側の s 項の係数を同等にします。
0 = T + B \右矢印B = -T
$ C（s）$の部分分数展開でA = 1およびB = -Tを代入します。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {T} \ {sT + 1} = \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {T} \ { T \ left（s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）}
\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {1} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}}
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ left（1-e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} \ right）u（t）
単位ステップ応答、c（t）には、過渡状態項と定常状態項の両方があります。
単位ステップ応答の過渡項は-
c _ \ {tr}（t）=-e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）
単位ステップ応答の定常状態の項は-
c _ \ {ss}（t）= u（t）
次の図は、ユニットのステップ応答を示しています。
- 単位ステップ応答c（t）*の値は、t = 0でゼロであり、tのすべての負の値に対して。 ゼロ値から徐々に増加し、最終的に定常状態で1に達します。 そのため、定常値は入力の大きさに依存します。
一次システムのランプ応答
- 単位ランプ信号*を一次システムへの入力と考えてください。
$ So、r（t）= tu（t）$
両側にラプラス変換を適用します。
R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}
方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
上記式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2} $に置き換えます。
C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s ^ 2} \ right）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）}
$ C（s）$の部分分数を実行します。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）} = \ frac \ {A} \ {s ^ 2} + \ frac \ {B} \ {s} + \ frac \ {C} \ {sT + 1}
\ Rightarrow \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）} = \ frac \ {A（sT + 1）+ Bs（sT + 1）+ Cs ^ 2} \ {s ^ 2（ sT + 1）}
両側で、分母の用語は同じです。 したがって、それらは互いにキャンセルされます。 したがって、分子項を同一視します。
1 = A（sT + 1）+ Bs（sT + 1）+ Cs ^ 2
両側の定数項を等しくすると、A = 1になります。
A = 1を代入し、両側のs項の係数を同等にします。
0 = T + B \右矢印B = -T
同様に、B = −Tを代入し、両側で$ s ^ 2 $項の係数を同等にします。 $ C = T ^ 2 $を取得します。
$ C（s）$の部分分数展開でA = 1、B = -Tおよび$ C = T ^ 2 $に置き換えます。
$$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T ^ 2} \ {sT + 1} = \ frac \ { 1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T ^ 2} \ {T \ left（s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）} $ $
\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T} \ {s + \ frac \ {1} \ { T}}
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ left（t-T + Te ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} \ right）u（t）
単位ランプ応答、c（t）には、過渡項と定常状態項の両方があります。
単位ランプ応答の過渡項は-
c _ \ {tr}（t）= Te ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）
単位ランプ応答の定常状態の項は-
c _ \ {ss}（t）=（t-T）u（t）
次の図は、ユニットのランプ応答を示しています。
単位ランプ応答、c（t）は、tのすべての正の値の単位ランプ入力信号に従います。 ただし、入力信号からT単位の偏差があります。
一次システムの放物線応答
- ユニット放物線信号*を一次システムへの入力と考えてください。
したがって、$ r（t）= \ frac \ {t ^ 2} \ {2} u（t）$
両側にラプラス変換を適用します。
R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}
方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
上記の式で$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3} $を代入します。
C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s ^ 3} \ right）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3（sT + 1）}
$ C（s）$の部分分数を実行します。
C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3（sT + 1）} = \ frac \ {A} \ {s ^ 3} + \ frac \ {B} \ {s ^ 2} + \ frac \ {C} \ {s} + \ frac \ {D} \ {sT + 1}
単純化した後、A、B、C、Dの値をそれぞれ1、$-T、\：T ^ 2 \：、\：-T ^ 3 $として取得します。 上記のC（s）の部分分数展開でこれらの値を代入します。
$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}-\ frac \ {T} \ {s ^ 2} + \ frac \ {T ^ 2} \ {s}-\ frac \ {T ^ 3} \ {sT + 1} \：\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}-\ frac \ {T} \ {s ^ 2} + \ frac \ {T ^ 2} \ {s}-\ frac \ {T ^ 2} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}} $
両側に逆ラプラス変換を適用します。
c（t）= \ left（\ frac \ {t ^ 2} \ {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \右）} \ right）u（t）
ユニット放物線応答、c（t）には、過渡項と定常状態項の両方があります。
ユニット放物線応答の過渡項は
C _ \ {tr}（t）=-T ^ 2e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）
単位放物線応答の定常状態の項は
C _ \ {ss}（t）= \ left（\ frac \ {t ^ 2} \ {2} -Tt + T ^ 2 \ right）u（t）
これらの応答から、これらの応答は無限の時間でも増加し続けるため、一次制御システムはランプ入力および放物線入力に対して安定していないと結論付けることができます。 一次制御システムは、これらの応答が出力を制限しているため、インパルスおよびステップ入力で安定しています。 しかし、インパルス応答には定常状態項がありません。 そのため、ステップ信号は、応答から制御システムを分析するために時間領域で広く使用されています。
