Control-systems-quick-guide

制御システム-はじめに

制御システムとは、出力を制御することで望ましい応答を提供するシステムです。 次の図は、制御システムの簡単なブロック図を示しています。

ブロック図

ここでは、制御システムは単一のブロックで表されます。 出力はさまざまな入力によって制御されるため、制御システムはこの名前を取得しました。 この入力を何らかのメカニズムで変更します。 開ループおよび閉ループ制御システムに関する次のセクションでは、制御システム内のブロックと、希望する応答を得るためにこの入力を変更する方法について詳細に研究します。

例-信号制御システム、洗濯機

• 交通信号制御システム*は、制御システムの例です。 ここでは、一連の入力信号がこの制御システムに適用され、出力は、一定期間点灯する3つのライトの1つです。 この間、他の2つのライトは消灯します。 特定のジャンクションでの交通量の調査に基づいて、ライトのオン時間とオフ時間を決定できます。 したがって、入力信号は出力を制御します。 そのため、信号制御システムは時間ベースで動作します。

制御システムの分類

いくつかのパラメーターに基づいて、制御システムを次の方法に分類できます。

連続時間および離散時間制御システム

• 制御システムは、使用される*信号のタイプ*に基づいて、連続時間制御システムと離散時間制御システムに分類できます。
• *連続時間*制御システムでは、すべての信号が時間的に連続しています。 しかし、*離散時間*制御システムでは、1つ以上の離散時間信号が存在します。

SISOおよびMIMO制御システム

• 制御システムは、*入力と出力*の数に基づいて、SISO制御システムとMIMO制御システムに分類できます。
• SISO （単一入力および単一出力）制御システムには、1つの入力と1つの出力があります。 一方、 MIMO （複数入力および複数出力）制御システムには、複数の入力と複数の出力があります。

開ループおよび閉ループ制御システム

制御システムは、*フィードバックパス*に基づいて、開ループ制御システムと閉ループ制御システムに分類できます。

• 開ループ制御システム*では、出力は入力にフィードバックされません。 したがって、制御アクションは目的の出力とは無関係です。

次の図は、開ループ制御システムのブロック図を示しています。

ループを開く

ここでは、入力がコントローラに適用され、作動信号または制御信号を生成します。 この信号は、制御されるプラントまたはプロセスへの入力として与えられます。 したがって、プラントは制御された出力を生成します。 前述の交通信号制御システムは、開ループ制御システムの例です。

• 閉ループ制御システム*では、出力は入力にフィードバックされます。 そのため、制御アクションは目的の出力に依存します。

次の図は、負帰還閉ループ制御システムのブロック図を示しています。

閉ループ

エラー検出器は、入力信号とフィードバック信号の差であるエラー信号を生成します。 このフィードバック信号は、システム全体の出力をこのブロックへの入力と見なすことにより、ブロック（フィードバック要素）から取得されます。 直接入力の代わりに、エラー信号がコントローラーへの入力として適用されます。

そのため、コントローラはプラントを制御する作動信号を生成します。 この組み合わせでは、希望する応答が得られるまで、制御システムの出力が自動的に調整されます。 したがって、閉ループ制御システムは自動制御システムとも呼ばれます。 入力にセンサーを備えた交通信号制御システムは、閉ループ制御システムの例です。

開ループ制御システムと閉ループ制御システムの違いを次の表に示します。

Open Loop Control Systems	Closed Loop Control Systems
Control action is independent of the desired output.	Control action is dependent of the desired output.
Feedback path is not present.	Feedback path is present.
These are also called as non-feedback control systems.	These are also called as feedback control systems.
Easy to design.	Difficult to design.
These are economical.	These are costlier.
Inaccurate.	Accurate.

制御システム-フィードバック

出力または出力の一部が入力側に返され、システム入力の一部として利用される場合、それは*フィードバック*と呼ばれます。 フィードバックは、制御システムのパフォーマンスを向上させるために重要な役割を果たします。 この章では、フィードバックの種類とフィードバックの効果について説明します。

フィードバックの種類

フィードバックには2つのタイプがあります-

• 正のフィードバック
• 負のフィードバック

正のフィードバック

正のフィードバックは、リファレンス入力、$ R（s）$およびフィードバック出力を追加します。 次の図は、*正帰還制御システム*のブロック図を示しています。

肯定的なフィードバック

伝達関数の概念については、後の章で説明します。 とりあえず、正帰還制御システムの伝達関数は、

$ T = \ frac \ {G} \ {1-GH} $（式1）

どこで、

• T は、伝達関数または正帰還制御システムの全体的なゲインです。
• G は開ループゲインで、周波数の関数です。
• H はフィードバックパスのゲインで、周波数の関数です。

負のフィードバック

負のフィードバックは、リファレンス入力、$ R（s）$とシステム出力の間の誤差を減らします。 次の図は、*負帰還制御システム*のブロック図を示しています。

負のフィードバック

負帰還制御システムの伝達関数は、

$ T = \ frac \ {G} \ {1 + GH} $（式2）

どこで、

• T は、伝達関数または負帰還制御システムの全体的なゲインです。
• G は開ループゲインで、周波数の関数です。
• H はフィードバックパスのゲインで、周波数の関数です。

上記の伝達関数の導出については、後の章で説明します。

フィードバックの効果

フィードバックの効果を理解しましょう。

全体的なゲインに対するフィードバックの影響

• 式2から、負帰還閉ループ制御システムの全体的なゲインは、「G」と（1 + GH）の比率であると言えます。 したがって、（1 + GH）の値に応じて、全体的なゲインが増減する場合があります。
• （1 + GH）の値が1未満の場合、全体のゲインが増加します。 この場合、フィードバックパスのゲインが負であるため、「GH」値は負です。
• （1 + GH）の値が1より大きい場合、全体のゲインは減少します。 この場合、フィードバックパスのゲインが正であるため、「GH」値は正です。

一般に、「G」と「H」は周波数の関数です。 したがって、フィードバックは、1つの周波数範囲でシステムの全体的なゲインを増加させ、他の周波数範囲で減少させます。

フィードバックが感度に与える影響

開ループゲイン（ G ）の変動に対する負帰還閉ループ制御システム（ T ）の全体的なゲインの*感度*は次のように定義されます。

$ S _ \ {G} ^ \ {T} = \ frac \ {\ frac \ {\ partial T} \ {T}} \ {\ frac \ {\ partial G} \ {G}} = \ frac \ {パーセント\：変更\：in \：T} \ {Percentage \：変更\：in \：G} $（式3）

ここで、*∂T*はGの増分変化によるTの増分変化です。

式3を次のように書き換えることができます。

$ S _ \ {G} ^ \ {T} = \ frac \ {\ partial T} \ {\ partial G} \ frac \ {G} \ {T} $（式4）

式2の両側でGに関して偏微分を行います。

$ \ frac \ {\ partial T} \ {\ partial G} = \ frac \ {\ partial} \ {\ partial G} \ left（\ frac \ {G} \ {1 + GH} \ right）= \ frac \ {（1 + GH）.1-G（H）} \ {（1 + GH）^ 2} = \ frac \ {1} \ {（1 + GH）^ 2} $（式5）

式2から、

$ \ frac \ {G} \ {T} = 1 + GH $（式6）

式4に式5と式6を代入します。

S _ \ {G} ^ \ {T} = \ frac \ {1} \ {（1 + GH）^ 2}（1 + GH）= \ frac \ {1} \ {1 + GH}

したがって、閉ループ制御システムの全体的なゲインの*感度*は、（1 + GH）の逆数として得られました。 そのため、（1 + GH）の値に応じて感度が増減する場合があります。

• （1 + GH）の値が1未満の場合、感度が向上します。 この場合、フィードバックパスのゲインが負であるため、「GH」値は負です。
• （1 + GH）の値が1より大きい場合、感度は低下します。 この場合、フィードバックパスのゲインが正であるため、「GH」値は正です。

一般に、「G」と「H」は周波数の関数です。 したがって、フィードバックは、1つの周波数範囲でシステムゲインの感度を上げ、他の周波数範囲で低下します。 したがって、システムがパラメーターの変動に鈍感または弱くなるように、「GH」の値を選択する必要があります。

安定性に対するフィードバックの影響

• 出力が制御されている場合、システムは安定していると言われます。 そうでなければ、それは不安定であると言われます。
• 式2では、分母の値がゼロ（つまり、GH = -1）の場合、制御システムの出力は無限になります。 そのため、制御システムが不安定になります。

したがって、制御システムを安定させるために、フィードバックを適切に選択する必要があります。

フィードバックがノイズに与える影響

フィードバックがノイズに与える影響を知るために、ノイズ信号のみによるフィードバックのある場合とない場合の伝達関数の関係を比較してみましょう。

以下に示すように、ノイズ信号を含む*開ループ制御システム*を検討してください。

ノイズ信号

ノイズ信号のみによる*開ループ伝達関数*は

$ \ frac \ {C（s）} \ {N（s）} = G_b $（式7）

他の入力$ R（s）$をゼロに等しくすることにより取得されます。

以下に示すように、ノイズ信号を含む*クローズドループ制御システム*を検討してください。

閉ループノイズ信号

ノイズ信号のみによる*閉ループ伝達関数*は

$ \ frac \ {C（s）} \ {N（s）} = \ frac \ {G_b} \ {1 + G_aG_bH} $（式8）

他の入力$ R（s）$をゼロに等しくすることにより取得されます。

式7と式8を比較してください

閉ループ制御システムでは、項$（1 + G_a G_b H）$が1より大きい場合、ノイズ信号によるゲインは$（1 + G_a G_b H）$の係数で減少します。

制御システム-数学モデル

制御システムは、*数学モデル*として知られる数学方程式のセットで表すことができます。 これらのモデルは、制御システムの分析と設計に役立ちます。 制御システムの分析とは、入力と数学モデルがわかっているときに出力を見つけることです。 制御システムの設計とは、入力と出力がわかっているときに数学モデルを見つけることです。

次の数学モデルが主に使用されます。

• 微分方程式モデル
• 伝達関数モデル
• 状態空間モデル

この章の最初の2つのモデルについて説明しましょう。

微分方程式モデル

微分方程式モデルは、制御システムの時間領域の数学モデルです。 微分方程式モデルについては、次の手順に従います。

• 特定の制御システムに基本的な法則を適用します。
• 中間変数を削除して、入力と出力の微分方程式を取得します。

例

次の図に示すように、次の電気システムを検討してください。 この回路は、抵抗、インダクタ、コンデンサで構成されています。 これらの電気素子はすべて*シリーズ*で接続されています。 この回路に印加される入力電圧は$ v_i $で、コンデンサの両端の電圧は出力電圧$ v_o $です。

シリーズ

この回路のメッシュ方程式は

v_i = Ri + L \ frac \ {\ text \ {d} i} \ {\ text \ {d} t} + v_o

代わりに、上記の式でコンデンサ$ i = c \ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} $を通過する電流。

\ Rightarrow \：v_i = RC \ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + LC \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + v_o

\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）\ frac \ { \ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_i

上記の方程式は2次*微分方程式*です。

伝達関数モデル

伝達関数モデルは、制御システムのsドメイン数学モデルです。 線形時不変（LTI）システムの*伝達関数*は、すべての初期条件がゼロであると仮定して、出力のラプラス変換と入力のラプラス変換の比率として定義されます。

$ x（t）$と$ y（t）$がLTIシステムの入力と出力である場合、対応するラプラス変換は$ X（s）$と$ Y（s）$です。

したがって、LTIシステムの伝達関数は、$ Y（s）$と$ X（s）$の比率に等しくなります。

i.e。、\：Transfer \：Function = \ frac \ {Y（s）} \ {X（s）}

LTIシステムの伝達関数モデルを次の図に示します。

伝達関数

ここでは、内部に伝達関数を持つブロックを持つLTIシステムを表しています。 そして、このブロックには入力$ X（s）$と出力$ Y（s）$があります。

例

以前は、電気システムの微分方程式は

\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）\ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right ）v_i

両側にラプラス変換を適用します。

s ^ 2V_o（s）+ \ left（\ frac \ {sR} \ {L} \ right）V_o（s）+ \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_o（s） = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_i（s）

\ Rightarrow \ left \\ {s ^ 2 + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）s + \ frac \ {1} \ {LC} \ right \} V_o（s）= \左（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_i（s）

\ Rightarrow \ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ frac \ {\ frac \ {1} \ {LC}} \ {s ^ 2 + \ left（\ frac \ {R } \ {L} \ right）s + \ frac \ {1} \ {LC}}

どこで、

• $ v_i（s）$は、入力電圧$ v_i $のラプラス変換です。
• $ v_o（s）$は、出力電圧$ v_o $のラプラス変換です。

上記の式は、2次電気システムの*伝達関数*です。 このシステムの伝達関数モデルを以下に示します。

伝達関数の例

ここでは、内部に伝達関数を持つブロックを備えた2次電気システムを示します。 そして、このブロックには入力$ V_i（s）$と出力$ V_o（s）$があります。

機械システムのモデリング

この章では、機械システムの*微分方程式モデリング*について説明します。 動きのタイプに基づいて、機械システムには2つのタイプがあります。

• 並進機械システム
• 回転機械システム

並進機械システムのモデリング

並進機械システムは、*直線*に沿って移動します。 これらのシステムは、主に3つの基本要素で構成されています。 それらは、質量、バネ、ダッシュポットまたはダンパーです。

並進機械システムに力が加えられると、システムの質量、弾性、摩擦による力に対抗します。 適用される力と反対の力は反対方向であるため、システムに作用する力の代数和はゼロです。 これら3つの要素が個別に反対する力を見てみましょう。

Mass

質量は、運動エネルギー*を保存する身体の特性です。 質量 *M の物体に力が加えられると、質量に起因する反対の力によって対抗されます。 この反対の力は、身体の加速度に比例します。 弾性と摩擦は無視できると仮定します。

マス

F_m \ propto \：a

\ Rightarrow F_m = Ma = M \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2x} \ {\ text \ {d} t ^ 2}

F = F_m = M \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2x} \ {\ text \ {d} t ^ 2}

どこで、

• F は加えられた力です
• * F〜m〜*は質量による反対の力です
• M は質量
• a は加速です
• x は変位です

春

春は、潜在的なエネルギー*を蓄える要素です。 バネ *K に力が加えられた場合、バネの弾力性による反対の力によって力に抵抗します。 この反対の力は、バネの変位に比例します。 質量と摩擦は無視できると仮定します。

春

F \ propto \：x

\右矢印F_k = Kx

F = F_k = Kx

どこで、

• F は加えられた力です
• * F〜k〜*はバネの弾性による反対の力です
• K はバネ定数です
• x は変位です

ダッシュポット

ダッシュポット B に力が加えられた場合、ダッシュポットの*摩擦*に起因する反対の力によって反対されます。 この反対の力は、体の速度に比例します。 質量と弾性は無視できると仮定します。

ダッシュポット

F_b \ propto \：\ nu

\ Rightarrow F_b = B \ nu = B \ frac \ {\ text \ {d} x} \ {\ text \ {d} t}

F = F_b = B \ frac \ {\ text \ {d} x} \ {\ text \ {d} t}

どこで、

• * F〜b〜*はダッシュポットの摩擦による反対の力です
• B は摩擦係数です
• v は速度です
• x は変位です

回転機械システムのモデリング

回転機械システムは、固定軸を中心に動きます。 これらのシステムは、主に3つの基本要素で構成されています。 それらは、慣性モーメント、ねじりバネ、および*ダッシュポット*です。

回転機械システムにトルクが加えられると、システムの慣性モーメント、弾性、および摩擦に起因するトルクに対抗することになります。 加えられたトルクと反対のトルクは反​​対方向であるため、システムに作用するトルクの代数和はゼロです。 これら3つの要素が個別に対抗するトルクを見てみましょう。

慣性モーメント

並進機械システムでは、質量は運動エネルギーを蓄積します。 同様に、回転機械システムでは、慣性モーメントに*運動エネルギー*が保存されます。

慣性モーメント J をもつ物体にトルクが加えられると、慣性モーメントに起因する反対のトルクによって抵抗されます。 この反対トルクは、身体の角加速度に比例します。 弾性と摩擦は無視できると仮定します。

慣性モーメント

T_j \ propto \：\ alpha

\ Rightarrow T_j = J \ alpha = J \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ theta} \ {\ text \ {d} t ^ 2}

T = T_j = J \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ theta} \ {\ text \ {d} t ^ 2}

どこで、

• T は加えられたトルクです
• * T〜j〜*は慣性モーメントによる反対トルクです
• J は慣性モーメント
• *α*は角加速度です
• *θ*は角変位です

ねじりばね

並進機械システムでは、バネはポテンシャルエネルギーを蓄積します。 同様に、回転機械システムでは、ねじりバネは*潜在的なエネルギー*を保存します。

ねじりばね K にトルクが加えられると、ねじりばねの弾力性により、反対のトルクで反対になります。 この反対のトルクは、ねじりバネの角変位に比例します。 慣性モーメントと摩擦は無視できると仮定します。

トーショナルスプリング

T_k \ propto \：\ theta

\右矢印T_k = K \ theta

T = T_k = K \ theta

どこで、

• T は加えられたトルクです
• * T〜k〜*は、ねじりバネの弾性による反対トルクです
• K はねじりバネ定数です
• *θ*は角変位です

ダッシュポット

ダッシュポット B にトルクが加えられると、ダッシュポットの*回転摩擦*に起因する反対のトルクによって反対されます。 この反対トルクは、体の角速度に比例します。 慣性モーメントと弾性は無視できると仮定します。

回転摩擦

T_b \ propto \：\ omega

\ Rightarrow T_b = B \ omega = B \ frac \ {\ text \ {d} \ theta} \ {\ text \ {d} t}

T = T_b = B \ frac \ {\ text \ {d} \ theta} \ {\ text \ {d} t}

どこで、

• * T〜b〜*はダッシュポットの回転摩擦による反対トルクです
• B は回転摩擦係数です
• *ω*は角速度です
• *θ*は角変位です

機械システムの電気的アナロジー

次の2つの条件が満たされている場合、2つのシステムは互いに「類似」していると言われます。

• 2つのシステムは物理的に異なります
• これら2つのシステムの微分方程式モデリングは同じです

電気システムと機械システムは、物理的に異なる2つのシステムです。 並進機械システムには2種類の電気的アナロジーがあります。 これらは、強制電圧の類推と強制電流の類推です。

強制電圧アナロジー

力電圧アナロジーでは、*並進機械システム*の数学方程式を電気システムのメッシュ方程式と比較します。

次の図に示すように、次の並進機械システムを検討してください。

Force Voltage Analogy

このシステムの*力均衡方程式*は

F = F_m + F_b + F_k

$ \ Rightarrow F = M \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2x} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + B \ frac \ {\ text \ {d} x} \ {\ text \ {d} t} + Kx $ *（式1） *

次の図に示すように、次の電気システムを検討してください。 この回路は、抵抗、インダクタ、コンデンサで構成されています。 これらすべての電気素子は直列に接続されています。 この回路に印加される入力電圧は$ V $ボルトで、回路を流れる電流は$ i $アンペアです。

電気システム

この回路のメッシュ方程式は

$ V = Ri + L \ frac \ {\ text \ {d} i} \ {\ text \ {d} t} + \ frac \ {1} \ {c} \ int idt $* （式2） *

置換、式2の$ i = \ frac \ {\ text \ {d} q} \ {\ text \ {d} t} $

V = R \ frac \ {\ text \ {d} q} \ {\ text \ {d} t} + L \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2q} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ frac \ {q} \ {C}

$ \ Rightarrow V = L \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2q} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + R \ frac \ {\ text \ {d} q} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {c} \ right）q $* （式3）*

式1と式3を比較することで、並進機械システムと電気システムの類似した量を取得します。 次の表に、これらの類似の数量を示します。

Translational Mechanical System	Electrical System
Force(F)	Voltage(V)
Mass(M)	Inductance(L)
Frictional Coefficient(B)	Resistance®
Spring Constant(K)	Reciprocal of Capacitance $(\frac{1}{c})$
Displacement(x)	Charge(q)
Velocity(v)	Current(i)

同様に、回転機械システムにもトルク電圧の類似性があります。 この類推について説明しましょう。

トルク電圧アナロジー

この類推では、*回転機械システム*の数学方程式は、電気システムのメッシュ方程式と比較されます。

回転機械システムを次の図に示します。

トルク電圧アナロジー

トルク平衡式は

T = T_j + T_b + T_k

$ \ Rightarrow T = J \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ theta} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + B \ frac \ {\ text \ {d} \ theta} \ { \ text \ {d} t} + k \ theta $ （式4）

式4と式3を比較することにより、回転機械システムと電気システムの類似量を取得します。 次の表に、これらの類似の数量を示します。

Rotational Mechanical System	Electrical System
Torque(T)	Voltage(V)
Moment of Inertia(J)	Inductance(L)
Rotational friction coefficient(B)	Resistance®
Torsional spring constant(K)	Reciprocal of Capacitance $(\frac{1}{c})$
Angular Displacement(θ)	Charge(q)
Angular Velocity(ω)	Current(i)

強制電流アナロジー

力電流のアナロジーでは、*並進機械システム*の数学方程式が電気システムの節点方程式と比較されます。

次の図に示すように、次の電気システムを検討してください。 この回路は、電流源、抵抗、インダクタ、コンデンサで構成されています。 これらの電気要素はすべて並列に接続されています。

現在のアナロジーを強制

節点方程式は

$ i = \ frac \ {V} \ {R} + \ frac \ {1} \ {L} \ int Vdt + C \ frac \ {\ text \ {d} V} \ {\ text \ {d} t } $ *（式5） *

代入、式5の$ V = \ frac \ {\ text \ {d} \ Psi} \ {\ text \ {d} t} $

i = \ frac \ {1} \ {R} \ frac \ {\ text \ {d} \ Psi} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {L } \ right）\ Psi + C \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ Psi} \ {\ text \ {d} t ^ 2}

$ \ Rightarrow i = C \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ Psi} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ left（\ frac \ {1} \ {R} \ right） \ frac \ {\ text \ {d} \ Psi} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {L} \ right）\ Psi $* （式6）*

式1と式6を比較することで、並進機械システムと電気システムの類似量を取得します。 次の表に、これらの類似の数量を示します。

Translational Mechanical System	Electrical System
Force(F)	Current(i)
Mass(M)	Capacitance©
Frictional coefficient(B)	Reciprocal of Resistance$(\frac{1}{R})$
Spring constant(K)	Reciprocal of Inductance$(\frac{1}{L})$
Displacement(x)	Magnetic Flux(ψ)
Velocity(v)	Voltage(V)

同様に、回転機械システムにもトルク電流の類似性があります。 この類推について説明しましょう。

トルク電流アナロジー

この類推では、*回転機械システム*の数学方程式が電気システムの節点メッシュ方程式と比較されます。

式4と式6を比較することにより、回転機械システムと電気システムの類似した量を取得します。 次の表に、これらの類似の数量を示します。

Rotational Mechanical System	Electrical System
Torque(T)	Current(i)
Moment of inertia(J)	Capacitance©
Rotational friction coefficient(B)	Reciprocal of Resistance$(\frac{1}{R})$
Torsional spring constant(K)	Reciprocal of Inductance$(\frac{1}{L})$
Angular displacement(θ)	Magnetic flux(ψ)
Angular velocity(ω)	Voltage(V)

この章では、機械システムの電気的アナロジーについて説明しました。 これらの類推は、類似の電気システムから機械システムのような非電気システムを研究および分析するのに役立ちます。

制御システム-ブロック図

ブロック図は、単一のブロックまたはブロックの組み合わせで構成されます。 これらは、制御システムを図形式で表すために使用されます。

ブロック図の基本要素

ブロック線図の基本要素は、ブロック、加算ポイント、および離陸ポイントです。 これらの要素を識別するために、次の図に示すような閉ループ制御システムのブロック図を考えてみましょう。

基本ブロック図

上記のブロック図は、伝達関数G（s）とH（s）を持つ2つのブロックで構成されています。 また、1つの加算ポイントと1つの離陸ポイントがあります。 矢印は、信号の流れの方向を示します。 これらの要素を1つずつ説明します。

ブロック

コンポーネントの伝達関数はブロックで表されます。 ブロックには、単一の入力と単一の出力があります。

次の図は、入力X（s）、出力Y（s）および伝達関数G（s）を持つブロックを示しています。

ブロック

伝達関数、$ G（s）= \ frac \ {Y（s）} \ {X（s）} $

\右矢印Y（s）= G（s）X（s）

ブロックの出力は、ブロックの伝達関数に入力を掛けることによって取得されます。

加算点

加算点は、内部に十字（X）が付いた円で表されます。 2つ以上の入力と単一の出力があります。 入力の代数和を生成します。 また、入力の極性に基づいて、入力の加算または減算、または加算と減算の組み合わせを実行します。 これら3つの操作を1つずつ見てみましょう。

次の図は、2つの入力（A、B）と1つの出力（Y）を持つ加算ポイントを示しています。 ここで、入力AとBには正の符号があります。 したがって、加算ポイントは出力を生成し、Yは* AとBの合計*です。

すなわち、Y = A + B

サミングポイント

次の図は、2つの入力（A、B）と1つの出力（Y）を持つ加算ポイントを示しています。 ここで、入力AとBは反対の符号を持ちます。つまり、Aは正の符号を持ち、Bは負の符号を持ちます。 したがって、加算ポイントは、出力 Y をAとB *の*差として生成します。

Y = A +（-B）= A-B

サミングポイントの差

次の図は、3つの入力（A、B、C）と1つの出力（Y）を持つ加算ポイントを示しています。 ここで、入力AとBは正の符号を持ち、Cは負の符号を持ちます。 したがって、加算ポイントは次の出力 Y を生成します。

Y = A + B +（−C）= A + B − C

負の記号

離陸地点

離陸ポイントは、同じ入力信号が複数のブランチを通過できるポイントです。 つまり、離陸ポイントの助けを借りて、同じ入力を1つ以上のブロックに適用して、ポイントを合計することができます。

次の図では、テイクオフポイントを使用して、同じ入力R（s）をさらに2つのブロックに接続しています。

テイクオフポイント

次の図では、テイクオフポイントを使用して、出力C（s）を加算ポイントへの入力の1つとして接続しています。

テイクオフサミングポイント

電気システムのブロック図表現

このセクションでは、電気系統をブロック図で表します。 電気システムには、主に3つの基本要素が含まれています-抵抗、インダクタ、およびコンデンサ。

次の図に示すように、一連のRLC回路を検討してください。 ここで、V〜i〜（t）およびV〜o〜（t）は入力および出力電圧です。 i（t）を回路を流れる電流とします。 この回路は時間領域にあります。

RLC Circuit

この回路にラプラス変換を適用することにより、sドメインの回路を取得します。 回路は次の図に示すとおりです。

ラプラス変換

上記の回路から、次のように書くことができます

I（s）= \ frac \ {V_i（s）-V_o（s）} \ {R + sL}

$ \ Rightarrow I（s）= \ left \\ {\ frac \ {1} \ {R + sL} \ right \} \ left \\ {V_i（s）-V_o（s）\ right \} $ *（式1） *

$ V_o（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sC} \ right）I（s）$* （式2）*

次に、これら2つの方程式のブロック図を個別に描画します。 そして、これらのブロック図を適切に組み合わせて、一連のRLC回路（sドメイン）の全体的なブロック図を取得します。

式1は、伝達関数$ \ frac \ {1} \ {R + sL} $を持つブロックで実装できます。 このブロックの入力と出力は、$ \ left \\ {V_i（s）-V_o（s）\ right \} $および$ I（s）$です。 $ \ left \\ {V_i（s）-V_o（s）\ right \} $を取得するには、加算ポイントが必要です。 式1のブロック図を次の図に示します。

Equation1ダイアグラム

式2は、伝達関数$ \ frac \ {1} \ {sC} $を持つブロックで実装できます。 このブロックの入力と出力は、$ I（s）$と$ V_o（s）$です。 式2のブロック図を次の図に示します。

Equation2ダイアグラム

一連のRLC回路（sドメイン）の全体的なブロック図を次の図に示します。

シリーズRLC回路

同様に、この簡単な手順に従うだけで、電気回路またはシステムの*ブロック図*を描くことができます。

• ラプラス変換を適用して、時間領域の電気回路をs領域の電気回路に変換します。
• すべての直列分岐要素を通過する電流とすべてのシャント分岐にわたる電圧の方程式を書き留めます。
• 上記のすべての方程式のブロック図を個別に描画します。
• 電気回路（sドメイン）の全体的なブロック図を取得するために、これらすべてのブロック図を適切に組み合わせます。

制御システム-ブロック図代数

ブロック図代数は、ブロック図の基本要素に関係する代数に他なりません。 この代数は、代数方程式の図的表現を扱います。

ブロックの基本的な接続

2つのブロック間の接続には、3つの基本的なタイプがあります。

直列接続

直列接続は、*カスケード接続*とも呼ばれます。 次の図では、伝達関数$ G_1（s）$および$ G_2（s）$を持つ2つのブロックが直列に接続されています。

シリーズ接続

この組み合わせでは、出力$ Y（s）$を次のように取得します

Y（s）= G_2（s）Z（s）

ここで、$ Z（s）= G_1（s）X（s）$

\ Rightarrow Y（s）= G_2（s）[G_1（s）X（s）] = G_1（s）G_2（s）X（s）

\右矢印Y（s）= \ lbrace G_1（s）G_2（s）\ rbrace X（s）

この式を出力式の標準形式である$ Y（s）= G（s）X（s）$と比較します。 ここで、$ G（s）= G_1（s）G_2（s）$。

つまり、2つのブロックの series connection を1つのブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これら2つのブロックの*伝達関数*の積です。 同等のブロック図を以下に示します。

同等のブロック図

同様に、「n」個のブロックの直列接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これらすべての「n」ブロックの伝達関数の積です。

並列接続

*parallel* で接続されているブロックには*同じ入力*があります。 次の図では、伝達関数$ G_1（s）$および$ G_2（s）$を持つ2つのブロックが並列に接続されています。 これら2つのブロックの出力は、加算点に接続されます。

並列接続

この組み合わせでは、出力$ Y（s）$を次のように取得します

Y（s）= Y_1（s）+ Y_2（s）

ここで、$ Y_1（s）= G_1（s）X（s）$および$ Y_2（s）= G_2（s）X（s）$

\ Rightarrow Y（s）= G_1（s）X（s）+ G_2（s）X（s）= \ lbrace G_1（s）+ G_2（s）\ rbrace X（s）

この式を出力式の標準形式である$ Y（s）= G（s）X（s）$と比較します。

ここで、$ G（s）= G_1（s）+ G_2（s）$。

つまり、1つのブロックで2つのブロックの*並列接続*を表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これら2つのブロックの*伝達関数の合計*です。 同等のブロック図を以下に示します。

等価パラレル

同様に、「n」個のブロックの並列接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これらすべての「n」ブロックの伝達関数の代数和です。

フィードバック接続

前の章で説明したように、*フィードバック*には2つのタイプがあります。ポジティブフィードバックとネガティブフィードバックです。 次の図は、負帰還制御システムを示しています。 ここで、伝達関数$ G（s）$および$ H（s）$を持つ2つのブロックが閉ループを形成します。

フィードバック接続

加算ポイントの出力は-

E（s）= X（s）-H（s）Y（s）

出力$ Y（s）$は-

Y（s）= E（s）G（s）

上記の式で$ E（s）$値を代入します。

Y（s）= \ left \\ {X（s）-H（s）Y（s）\ rbrace G（s）\ right \}

Y（s）\ left \\ {1 + G（s）H（s）\ rbrace = X（s）G（s）\ right \}

\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {X（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）}

したがって、負帰還の閉ループ伝達関数は$ \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）} $です。

つまり、2つのブロックの負帰還接続を1つのブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、負帰還の閉ループ伝達関数です。 同等のブロック図を以下に示します。

同等のフィードバック

同様に、2つのブロックの正帰還接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、正のフィードバックの閉ループ伝達関数、つまり$ \ frac \ {G（s）} \ {1-G（s）H（s）} $です。

加算点のブロック図代数

ブロックに関して加算点をシフトする2つの可能性があります-

• ブロックの後の加算ポイントのシフト *ブロックの前の加算ポイントのシフト

次に、上記の2つのケースでどのような調整を行う必要があるかを1つずつ見ていきましょう。

ブロックの後の加算点のシフト

次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、ブロックの前に加算ポイントが存在します。

ブロックの前のサミングポイント

加算ポイントには、2つの入力$ R（s）$および$ X（s）$があります。 出力は$ \ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \} $です。

したがって、ブロック$ G（s）$への入力は$ \ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \} $であり、その出力は–

Y（s）= G（s）\ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \}

$ \ Rightarrow Y（s）= G（s）R（s）+ G（s）X（s）$* （式1） *

次に、ブロックの後に加算ポイントをシフトします。 このブロック図を次の図に示します。

ブロック後のサミングポイント

ブロック$ G（s）$の出力は$ G（s）R（s）$です。

加算点の出力は

$ Y（s）= G（s）R（s）+ X（s）$* （式2） *

式1と式2を比較します。

最初の項$ ’G（s）R（s）’ $は両方の式で同じです。 しかし、第2項には違いがあります。 2番目の項も同じようにするには、もう1つのブロック$ G（s）$が必要です。 入力$ X（s）$があり、このブロックの出力は$ X（s）$ではなく加算ポイントへの入力として与えられます。 このブロック図を次の図に示します。

変更されたブロック

ブロックの前の加算ポイントのシフト

次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、加算ポイントはブロックの後にあります。

ブロック後のサミングポイント

このブロック図の出力は-

$ Y（s）= G（s）R（s）+ X（s）$* （式3） *

次に、ブロックの前に加算ポイントを移動します。 このブロック図を次の図に示します。

ブロックの前のサミングポイント

このブロック図の出力は-

$ Y（S）= G（s）R（s）+ G（s）X（s）$* （式4）*

式3と式4を比較してください

最初の項$ ’G（s）R（s）’ $は両方の式で同じです。 しかし、第2項には違いがあります。 2番目の用語も同じようにするには、もう1つのブロック$ \ frac \ {1} \ {G（s）} $が必要です。 入力$ X（s）$があり、このブロックの出力は$ X（s）$ではなく加算ポイントへの入力として与えられます。 このブロック図を次の図に示します。

入力出力ブロック

離陸地点のブロック図代数

ブロックに関して離陸点をシフトする2つの可能性があります-

• ブロックの後の離陸点の移動
• ブロックの前に離陸点を移動

上記の2つのケースで、どのような調整を行うかを1つずつ見ていきましょう。

ブロック後の離陸地点の移動

次の図に示すブロック図を検討してください。 この場合、離陸地点はブロックの前にあります。

離陸後のシフト

ここで、$ X（s）= R（s）$および$ Y（s）= G（s）R（s）$

ブロックの後に離陸ポイントをシフトすると、出力$ Y（s）$は同じになります。 ただし、$ X（s）$値には違いがあります。 したがって、同じ$ X（s）$値を取得するには、もう1つのブロック$ \ frac \ {1} \ {G（s）} $が必要です。 入力は$ Y（s）$で、出力は$ X（s）$です。 このブロック図を次の図に示します。

ブロック後の離陸

ブロックの前の離陸地点の移動

次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、ブロックの後に離陸ポイントがあります。

ブロック前の離陸

ここで、$ X（s）= Y（s）= G（s）R（s）$

ブロックの前に離陸点をシフトすると、出力$ Y（s）$は同じになります。 ただし、$ X（s）$値には違いがあります。 したがって、同じ$ X（s）$値を取得するには、もう1つのブロック$ G（s）$が必要です。 入力は$ R（s）$で、出力は$ X（s）$です。 このブロック図を次の図に示します。

離陸のシフト

制御システム-ブロック線図の削減

前の章で説明した概念は、ブロック線図の削減（簡素化）に役立ちます。

ブロック図削減ルール

多くのブロック、加算ポイント、テイクオフポイントを含むブロック図を単純化（削減）するには、これらのルールに従います。

• *ルール1 *-直列に接続されたブロックを確認し、簡素化します。
• *ルール2 *-並列に接続されているブロックを確認し、簡素化します。
• *ルール3 *-フィードバックループで接続されているブロックを確認し、簡略化します。
• *ルール4 *-単純化中に離陸ポイントに問題がある場合は、右にシフトします。
• *ルール5 *-単純化しながらポイントを加算するのが難しい場合は、左にシフトします。
• *ルール6 *-単純化されたフォーム、つまり単一ブロックが得られるまで、上記の手順を繰り返します。

注-この単一ブロックに存在する伝達関数は、全体のブロック図の伝達関数です。

例

次の図に示すブロック図を検討してください。 ブロック図縮約ルールを使用して、このブロック図を単純化（縮小）しましょう。

縮小図

• ステップ1 *-ブロック$ G_1 $および$ G_2 $にルール1を使用します。 ブロック$ G_3 $および$ G_4 $にはルール2を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。

削減ステップ1

• ステップ2 *-ブロック$ G_1G_2 $および$ H_1 $にルール3を使用します。 ブロック$ G_5 $の後にテイクオフポイントをシフトするには、ルール4を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。

削減ステップ2

• ステップ3 *-ブロック$（G_3 + G_4）$および$ G_5 $にルール1を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。

削減ステップ3

• ステップ4 *-ブロック$（G_3 + G_4）G_5 $および$ H_3 $にルール3を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。

削減ステップ4

• ステップ5 *-直列に接続されたブロックにルール1を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。

削減ステップ5

• ステップ6 *-フィードバックループで接続されたブロックにルール3を使用します。 変更されたブロック図を次の図に示します。 これは簡略化されたブロック図です。

削減ステップ6

したがって、システムの伝達関数は

\ frac \ {Y（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G_1G_2G_5 ^ 2（G_3 + G_4）} \ {（1 + G_1G_2H_1）\ lbrace 1+（G_3 + G_4）G_5H_3 \ rbrace G_5-G_1G_2G_5（G_3 + G_4）H_2}

注-複数の入力を持つブロック線図の伝達関数を計算するには、次の手順に従います。

• *ステップ1 *-一度に1つの入力を考慮し、残りの入力をゼロとしてブロック図の伝達関数を見つけます。
• *ステップ2 *-残りの入力に対してステップ1を繰り返します。
• *ステップ3 *-これらすべての伝達関数を追加して、全体の伝達関数を取得します。

複雑なシステムでは、ブロック線図の削減プロセスに時間がかかります。 なぜなら、各ステップの後に（部分的に簡略化された）ブロック線図を描く必要があるからです。 そのため、この欠点を克服するには、シグナルフローグラフ（表現）を使用します。

次の2つの章では、シグナルフローグラフに関連する概念、つまり、特定のブロック図からシグナルフローグラフを表現する方法と、還元プロセスを行わずにゲイン式を使用するだけで伝達関数を計算する方法について説明します。

制御システム-シグナルフローグラフ

シグナルフローグラフは、代数方程式のグラフィカルな表現です。 この章では、シグナルフローグラフに関連する基本概念について説明し、シグナルフローグラフの作成方法についても学習します。

シグナルフローグラフの基本要素

ノードとブランチは、シグナルフローグラフの基本要素です。

Node

• ノード*は、変数または信号を表すポイントです。 ノードには、入力ノード、出力ノード、混合ノードの3つのタイプがあります。

• 入力ノード-これは、発信ブランチのみを持つノードです。
• 出力ノード-着信ブランチのみを持つノードです。
• 混合ノード-これは、着信ブランチと発信ブランチの両方を持つノードです。

例

これらのノードを識別するために、次のシグナルフローグラフを考えてみましょう。

シグナルフローグラフ

• このシグナルフローグラフに存在する*ノード*は、* y〜1〜、y〜2〜、y〜3〜および y〜4〜*です。
• * y〜1〜および y〜4〜*は、それぞれ*入力ノード*および*出力ノード*です。
• * y〜2〜および y〜3〜*は*混合ノード*です。

ブランチ

分岐*は、2つのノードを結合する線分です。 *gain と direction の両方があります。 たとえば、上記のシグナルフローグラフには4つのブランチがあります。 これらのブランチには、 a、b、c 、および -d の*ゲイン*があります。

シグナルフローグラフの構築

私たちは次の代数方程式を考慮してシグナルフローグラフを構築しましょう-

y_2 = a _ \ {12} y_1 + a _ \ {42} y_4

y_3 = a _ \ {23} y_2 + a _ \ {53} y_5

y_4 = a _ \ {34} y_3

y_5 = a _ \ {45} y_4 + a _ \ {35} y_3

y_6 = a _ \ {56} y_5

このシグナルフローグラフには、6つの*ノード*（y〜1〜、y〜2〜、y〜3〜、y〜4〜、y〜5〜、y〜6〜）と8つの*分岐*があります。 ブランチのゲインは、a〜12〜、a〜23〜、a〜34〜、a〜45〜、a〜56〜、a〜42〜、a〜53〜、a〜35〜です。

全体のシグナルフローグラフを取得するには、各方程式のシグナルフローグラフを描画し、これらすべてのシグナルフローグラフを組み合わせて、以下に示す手順に従います-

• ステップ1 *-$ y_2 = a _ \ {13} y_1 + a _ \ {42} y_4 $のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ1

• ステップ2 *-$ y_3 = a _ \ {23} y_2 + a _ \ {53} y_5 $のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ2

• ステップ3 *-$ y_4 = a _ \ {34} y_3 $のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ3

• ステップ4 *-$ y_5 = a _ \ {45} y_4 + a _ \ {35} y_3 $のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ4

• ステップ5 *-$ y_6 = a _ \ {56} y_5 $のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ5

• ステップ6 *-システム全体のシグナルフローグラフを次の図に示します。

フローグラフステップ6

ブロック線図からシグナルフローグラフへの変換

ブロック線図を同等の信号フローグラフに変換するには、以下の手順に従います。

• ブロック線図のすべての信号、変数、加算ポイントおよび離陸ポイントを、信号フローグラフの*ノード*として表します。
• ブロック線図のブロックを、信号フローグラフの*ブランチ*として表します。
• ブロック線図のブロック内の伝達関数を、信号フローグラフの分岐の*ゲイン*として表します。 ブロック図に従ってノードを接続します。 2つのノード間に接続がある（ただし、間にブロックがない）場合は、分岐のゲインを1つとして表します。 たとえば*、加算点間、加算点と離陸点間、入力と加算点間、離陸点と出力間。

例

次のブロック図を同等のシグナルフローグラフに変換しましょう。

同等の信号フローの例

ブロック線図の入力信号$ R（s）$および出力信号$ C（s）$を、信号フローグラフの入力ノード$ R（s）$および出力ノード$ C（s）$として表します。

参考までに、残りのノード（y〜1〜〜y〜9〜）にはブロック図でラベルが付けられています。 入力ノードと出力ノード以外に9つのノードがあります。 これは、4つの加算ポイントに4つのノード、4つの離陸ポイントに4つのノード、ブロック$ G_1 $と$ G_2 $の間の変数に1つのノードです。

次の図は、同等のシグナルフローグラフを示しています。

等価フローグラフ

メイソンのゲイン式（次の章で説明）を使用して、このシグナルフローグラフの伝達関数を計算できます。 これは、シグナルフローグラフの利点です。 ここでは、伝達関数を計算するためのシグナルフローグラフを単純化（削減）する必要はありません。

メイソンのゲイン公式

メイソンのゲイン公式について説明しましょう。 シグナルフローグラフに「N」個のフォワードパスがあるとします。 シグナルフローグラフの入力ノードと出力ノード間のゲインは、システムの*伝達関数*に他なりません。 メイソンのゲイン公式を使用して計算できます。

メイソンのゲイン式は

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ Sigma ^ N _ \ {i = 1} P_i \ Delta _i} \ {\ Delta}

どこで、

• * C（s）*は出力ノードです
• * R（s）*は入力ノードです
• T は、伝達関数または$ R（s）$と$ C（s）$間のゲインです。
• * P〜i〜*はi ^ th ^のフォワードパスゲインです。

$ \ Delta = 1-（合計\：of \：すべて\：個別\：ループ\：ゲイン）$

$ +（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：2つの\：非接触\：ループ）$

-（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：3 \：非接触\：ループ）+ ...

_Δ〜i〜は、i ^ th ^フォワードパスに触れているループを削除することにより、Δから取得されます。

ここに含まれる基本的な用語を理解するために、以下のシグナルフローグラフを検討してください。

Mason Formula Basic

Path

これは、分岐矢印の方向にあるノードから他のノードへの分岐のトラバースです。 ノードを複数回横断することはできません。

例-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $および$ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

フォワードパス

入力ノードから出力ノードへのパスは forward path と呼ばれます。

例-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $および$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $。

フォワードパスゲイン

これは、フォワードパスのすべてのブランチゲインの積を計算することによって取得されます。

例-$ abcde $は、$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $のフォワードパスゲインであり、abgeは$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5のフォワードパスゲインです。 \ rightarrow y_6 $。

Loop

1つのノードから始まり、同じノードで終わるパスは*ループ*と呼ばれます。 したがって、それは閉じたパスです。

例-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $および$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $。

ループゲイン

これは、ループのすべての分岐ゲインの積を計算することにより取得されます。

例-$ b_j $は$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $のループゲインであり、$ g_h $は$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $のループゲインです。

非接触ループ

これらはループであり、共通ノードはありません。

例-ループ、$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $および$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $は非接触です。

メイソンのゲイン式を使用した伝達関数の計算

伝達関数を見つけるための同じ信号フローグラフを考えてみましょう。

Mason Formula Basic

• フォワードパスの数、N = 2。
• 最初のフォワードパスは-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $です。
• 最初のフォワードパスゲイン、$ p_1 = abcde $。
• 2番目のフォワードパスは-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $です。
• 2番目のフォワードパスゲイン、$ p_2 = abge $。
• 個々のループの数、L = 5。
• ループは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $、$ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $、$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $および$ y_5 \ rightarrow y_5 $。
• ループゲインは-$ l_1 = bj $、$ l_2 = gh $、$ l_3 = cdh $、$ l_4 = di $、$ l_5 = f $です。
• 2つの非接触ループの数= 2。
• 最初の非接触ループのペアは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $です。
• 最初の非接触ループペアの積を得る、$ l_1l_4 = bjdi $
• 2番目の非接触ループのペアは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_5 \ rightarrow y_5 $です。
• 2番目の非接触ループペアのゲイン積は-$ l_1l_5 = bjf $です

このシグナルフローグラフには、より多くの（3つ以上の）非接触ループは存在しません。

知っている、

$ \ Delta = 1-（合計\：of \：すべて\：個別\：ループ\：ゲイン）$

$ +（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：2つの\：非接触\：ループ）$

-（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：3 \：非接触\：ループ）+ ...

上記の方程式の値を代入し、

$ \ Delta = 1-（bj + gh + cdh + di + f）+（bjdi + bjf）-（0）$

$ \ Rightarrow \ Delta = 1-（bj + gh + cdh + di + f）+ bjdi + bjf $

最初の順方向パスに触れないループはありません。

したがって、$ \ Delta_1 = 1 $です。

同様に、$ \ Delta_2 = 1 $。 以来、2番目のフォワードパスに触れないループはありません。

代替、メイソンのゲイン式でN = 2

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ Sigma ^ 2 _ \ {i = 1} P_i \ Delta _i} \ {\ Delta}

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} \ {\ Delta}

上記の式で必要なすべての値を代入します。

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）1+（abge）1} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f） + bjdi + bjf}

\ Rightarrow T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）+（abge）} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f） + bjdi + bjf}

したがって、伝達関数は-

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）+（abge）} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f）+ bjdi + bjf}

制御システム-時間応答分析

時間領域と周波数領域の両方で制御システムの応答を分析できます。 制御システムの周波数応答解析については、後の章で説明します。 次に、制御システムの時間応答解析について説明します。

時間応答とは何ですか？

入力に対する制御システムの出力が時間に関して変化する場合、それは制御システムの「時間応答」と呼ばれます。 時間応答は2つの部分で構成されます。

• 過渡応答
• 定常状態応答

時間領域での制御システムの応答を次の図に示します。

時間応答

ここでは、過渡状態と定常状態の両方が図に示されています。 これらの状態に対応する応答は、過渡応答および定常状態応答として知られています。

数学的には、時間応答c（t）を次のように記述できます。

c（t）= c _ \ {tr}（t）+ c _ \ {ss}（t）

どこで、

• c〜tr〜（t）は過渡応答です
• c〜ss〜（t）は定常状態応答です

過渡応答

入力を制御システムに適用した後、出力が定常状態に達するまでに一定の時間がかかります。 そのため、出力は定常状態になるまで過渡状態になります。 したがって、過渡状態中の制御システムの応答は*過渡応答*と呼ばれます。

「t」の値が大きい場合、過渡応答はゼロになります。 理想的には、この「t」の値は無限であり、実際には5倍の定数です。

数学的には、次のように書くことができます

\ lim _ \ {t \ rightarrow \ infty} c _ \ {tr}（t）= 0

定常状態応答

過渡応答の値が「t」の大きな値に対してゼロ値になった後でも残る時間応答の部分は、*定常状態応答*として知られています。 つまり、定常状態でも過渡応答はゼロになります。

例

制御システム$ c（t）= 10 + 5e ^ \ {-t} $の時間応答の過渡および定常状態の項を見つけましょう

ここでは、 t が無限を表すため、2番目の項$ 5e ^ \ {-t} $はゼロになります。 したがって、これは*一時的な用語*です。 そして、 t が無限に近づいても、最初の項10は残ります。 したがって、これは*定常状態*です。

標準テスト信号

標準テスト信号は、インパルス、ステップ、ランプ、および放物線です。 これらの信号は、出力の時間応答を使用して制御システムの性能を知るために使用されます。

単位インパルス信号

単位インパルス信号δ（t）は次のように定義されます

$ t \ neq 0 $に対して$ \ delta（t）= 0 $

および$ \ int _ \ {0 ^-} ^ \ {0 ^ +} \ delta（t）dt = 1 $

次の図は、単位インパルス信号を示しています。

ユニットインパルス

したがって、単位インパルス信号は、「t」がゼロに等しい場合にのみ存在します。 「t」がゼロに等しい短い時​​間間隔でのこの信号の面積は1です。 単位インパルス信号の値は、他のすべての値「t」ではゼロです。

ユニットステップ信号

単位ステップ信号u（t）は次のように定義されます

u（t）= 1; t \ geq 0

$ = 0; t <0 $

次の図は、単位ステップ信号を示しています。

ユニットステップ

したがって、単位ステップ信号は、ゼロを含む「t」のすべての正の値に対して存在します。 そして、その値はこのインターバルの間は1です。 単位ステップ信号の値は、「t」のすべての負の値に対してゼロです。

ユニットランプ信号

単位ランプ信号r（t）は次のように定義されます

r（t）= t; t \ geq 0

$ = 0; t <0 $

単位ランプ信号、$ r（t）$を単位ステップ信号、$ u（t）$のように書くことができます。

r（t）= tu（t）

次の図は、ユニットランプ信号を示しています。

ユニットランプ

したがって、単位ランプ信号は、ゼロを含む「t」のすべての正の値に対して存在します。 そして、その値は、この間隔中に「t」に関して線形に増加します。 単位ランプ信号の値は、「t」のすべての負の値に対してゼロです。

ユニット放物線信号

単位放物線信号、p（t）は次のように定義されます。

p（t）= \ frac \ {t ^ 2} \ {2}; t \ geq 0

$ = 0; t <0 $

ユニット放物線信号$ p（t）$をユニットステップ信号$ u（t）$として記述できます。

p（t）= \ frac \ {t ^ 2} \ {2} u（t）

次の図は、ユニット放物線信号を示しています。

ユニット放物線

したがって、単位放物線信号は、ゼロを含む 't' のすべての正の値に対して存在します。 そして、その値は、この間隔中に「t」に関して非線形に増加します。 単位放物線信号の値は、「t」のすべての負の値に対してゼロです。

一次システムの応答

この章では、一次システムの時間応答について説明します。 次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。 ここでは、開ループ伝達関数$ \ frac \ {1} \ {sT} $が単一の負のフィードバックに接続されています。

Unity Negative Feedback

閉ループ制御システムの伝達関数には、次のような負のフィードバックがあります。

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}

上記の式の$ G（s）= \ frac \ {1} \ {sT} $を代入します。

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ frac \ {1} \ {sT}} \ {1+ \ frac \ {1} \ {sT}} = \ frac \ {1} \ {sT + 1}

sの累乗は、分母項の1つです。 したがって、上記の伝達関数は1次であり、システムは* 1次システム*と呼ばれます。

上記の式を次のように書き換えることができます。

C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）

どこで、

• * C（s）*は、出力信号c（t）のラプラス変換です。
• * R（s）*は入力信号r（t）のラプラス変換であり、
• T は時定数です。

次の手順に従って、時間領域の1次システムの応答（出力）を取得します。

• 入力信号$ r（t）$のラプラス変換を行います。
• 方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$
• 上記の式で$ R（s）$値を代入します。
• 必要に応じて、$ C（s）$の部分的な小数部を実行します。
• 逆ラプラス変換を$ C（s）$に適用します。

前の章では、インパルス、ステップ、ランプ、放物線などの標準的なテスト信号を見てきました。 次に、各入力に対する1次システムの応答を1つずつ調べてみましょう。 応答の名前は、入力信号の名前に従って指定されます。 たとえば、インパルス入力に対するシステムの応答は、インパルス応答と呼ばれます。

一次システムのインパルス応答

• 単位インパルス信号*を一次システムへの入力と考えてください。

したがって、$ r（t）= \ delta（t）$

両側にラプラス変換を適用します。

$ R（s）= 1 $

方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$

上記の式の代わりに、$ R（s）= 1 $を使用します。

C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）（1）= \ frac \ {1} \ {sT + 1}

ラプラス変換の標準形式の1つで上記の式を再配置します。

C（s）= \ frac \ {1} \ {T \ left（\ s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）} \ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ { T} \ left（\ frac \ {1} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}} \ right）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ frac \ {1} \ {T} e ^ \ left（\ {-\ frac \ {t} \ {T}} \ right）u（t）

単位インパルス応答を次の図に示します。

ユニットインパルス応答

単位インパルス応答、c（t）は、「t」の正の値に対して指数関数的に減衰する信号であり、「t」の負の値に対してゼロです。

一次システムのステップ応答

• 単位ステップ信号*を一次システムへの入力と考えてください。

したがって、$ r（t）= u（t）$

両側にラプラス変換を適用します。

R（s）= \ frac \ {1} \ {s}

方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$

上記の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。

C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {1} \ { s \ left（sT + 1 \ right）}

C（s）の部分的な分数を行います。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s \ left（sT + 1 \ right）} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {sT + 1}

\ Rightarrow \ frac \ {1} \ {s \ left（sT + 1 \ right）} = \ frac \ {A \ left（sT + 1 \ right）+ Bs} \ {s \ left（sT + 1 \ right）}

両側で、分母の用語は同じです。 したがって、それらは互いにキャンセルされます。 したがって、分子項を同一視します。

1 = A \ left（sT + 1 \ right）+ Bs

両側の定数項を等しくすると、A = 1になります。

A = 1を代入し、両側の s 項の係数を同等にします。

0 = T + B \右矢印B = -T

$ C（s）$の部分分数展開でA = 1およびB = -Tを代入します。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {T} \ {sT + 1} = \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {T} \ { T \ left（s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）}

\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {1} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}}

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ left（1-e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} \ right）u（t）

単位ステップ応答、c（t）には、過渡状態項と定常状態項の両方があります。

単位ステップ応答の過渡項は-

c _ \ {tr}（t）=-e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）

単位ステップ応答の定常状態の項は-

c _ \ {ss}（t）= u（t）

次の図は、ユニットのステップ応答を示しています。

ステップ応答

• 単位ステップ応答c（t）*の値は、t = 0でゼロであり、tのすべての負の値に対して。 ゼロ値から徐々に増加し、最終的に定常状態で1に達します。 そのため、定常値は入力の大きさに依存します。

一次システムのランプ応答

• 単位ランプ信号*を一次システムへの入力と考えてください。

$ So、r（t）= tu（t）$

両側にラプラス変換を適用します。

R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}

方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$

上記式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2} $に置き換えます。

C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s ^ 2} \ right）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）}

$ C（s）$の部分分数を実行します。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）} = \ frac \ {A} \ {s ^ 2} + \ frac \ {B} \ {s} + \ frac \ {C} \ {sT + 1}

\ Rightarrow \ frac \ {1} \ {s ^ 2（sT + 1）} = \ frac \ {A（sT + 1）+ Bs（sT + 1）+ Cs ^ 2} \ {s ^ 2（ sT + 1）}

両側で、分母の用語は同じです。 したがって、それらは互いにキャンセルされます。 したがって、分子項を同一視します。

1 = A（sT + 1）+ Bs（sT + 1）+ Cs ^ 2

両側の定数項を等しくすると、A = 1になります。

A = 1を代入し、両側のs項の係数を同等にします。

0 = T + B \右矢印B = -T

同様に、B = −Tを代入し、両側で$ s ^ 2 $項の係数を同等にします。 $ C = T ^ 2 $を取得します。

$ C（s）$の部分分数展開でA = 1、B = -Tおよび$ C = T ^ 2 $に置き換えます。

$$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T ^ 2} \ {sT + 1} = \ frac \ { 1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T ^ 2} \ {T \ left（s + \ frac \ {1} \ {T} \ right）} $ $

\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 2}-\ frac \ {T} \ {s} + \ frac \ {T} \ {s + \ frac \ {1} \ { T}}

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ left（t-T + Te ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} \ right）u（t）

単位ランプ応答、c（t）には、過渡項と定常状態項の両方があります。

単位ランプ応答の過渡項は-

c _ \ {tr}（t）= Te ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）

単位ランプ応答の定常状態の項は-

c _ \ {ss}（t）=（t-T）u（t）

次の図は、ユニットのランプ応答を示しています。

ランプ応答

単位ランプ応答、c（t）は、tのすべての正の値の単位ランプ入力信号に従います。 ただし、入力信号からT単位の偏差があります。

一次システムの放物線応答

• ユニット放物線信号*を一次システムへの入力と考えてください。

したがって、$ r（t）= \ frac \ {t ^ 2} \ {2} u（t）$

両側にラプラス変換を適用します。

R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}

方程式、$ C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）R（s）$

上記の式で$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3} $を代入します。

C（s）= \ left（\ frac \ {1} \ {sT + 1} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s ^ 3} \ right）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3（sT + 1）}

$ C（s）$の部分分数を実行します。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3（sT + 1）} = \ frac \ {A} \ {s ^ 3} + \ frac \ {B} \ {s ^ 2} + \ frac \ {C} \ {s} + \ frac \ {D} \ {sT + 1}

単純化した後、A、B、C、Dの値をそれぞれ1、$-T、\：T ^ 2 \：、\：-T ^ 3 $として取得します。 上記のC（s）の部分分数展開でこれらの値を代入します。

$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}-\ frac \ {T} \ {s ^ 2} + \ frac \ {T ^ 2} \ {s}-\ frac \ {T ^ 3} \ {sT + 1} \：\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {1} \ {s ^ 3}-\ frac \ {T} \ {s ^ 2} + \ frac \ {T ^ 2} \ {s}-\ frac \ {T ^ 2} \ {s + \ frac \ {1} \ {T}} $

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ left（\ frac \ {t ^ 2} \ {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \右）} \ right）u（t）

ユニット放物線応答、c（t）には、過渡項と定常状態項の両方があります。

ユニット放物線応答の過渡項は

C _ \ {tr}（t）=-T ^ 2e ^ \ {-\ left（\ frac \ {t} \ {T} \ right）} u（t）

単位放物線応答の定常状態の項は

C _ \ {ss}（t）= \ left（\ frac \ {t ^ 2} \ {2} -Tt + T ^ 2 \ right）u（t）

これらの応答から、これらの応答は無限の時間でも増加し続けるため、一次制御システムはランプ入力および放物線入力に対して安定していないと結論付けることができます。 一次制御システムは、これらの応答が出力を制限しているため、インパルスおよびステップ入力で安定しています。 しかし、インパルス応答には定常状態項がありません。 そのため、ステップ信号は、応答から制御システムを分析するために時間領域で広く使用されています。

二次システムの応答

この章では、2次システムの時間応答について説明します。 次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。 ここでは、開ループ伝達関数$ \ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $が単一の負帰還に接続されています。

二次応答

閉ループ制御システムの伝達関数は、

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}

上記の式の$ G（s）= \ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $に置き換えます。

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ left（\ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right ）} \ {1+ \ left（\ frac \ {\ omega ^ 2_n} \ {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right）} = \ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2}

「s」の力は、分母の用語では2です。 したがって、上記の伝達関数は2次であり、システムは* 2次システム*と呼ばれます。

特性方程式は-

s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0

特性方程式の根は-

s = \ frac \ {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt \ {（2 \ delta \ omega _n）^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} \ {2} = \ frac \ {- 2（\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ {2}

\ Rightarrow s =-\ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}

• δ= 0の場合、2つの根は虚数です。
• 2つの根は実数であり、δ= 1の場合に等しくなります。
• 2つの根は実数ですが、δ> 1の場合は等しくありません。
• 0 <δ<1の場合、2つの根は複素共役です。

次のように$ C（s）$方程式を書くことができます。

C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）

どこで、

• * C（s）*は出力信号のラプラス変換c（t）
• * R（s）*は入力信号のラプラス変換、r（t）
• *ω〜n〜*は固有振動数です
• *δ*は減衰比です。

次の手順に従って、時間領域の2次システムの応答（出力）を取得します。

• 入力信号$ r（t）$のラプラス変換を行います。
• 方程式を考えてみましょう、$ C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）$
• 上記の式で$ R（s）$値を代入します。
• 必要に応じて、$ C（s）$の部分的な小数部を実行します。
• 逆ラプラス変換を$ C（s）$に適用します。

2次システムのステップ応答

単位ステップ信号を2次システムへの入力と考えてください。

単位ステップ信号のラプラス変換は、

R（s）= \ frac \ {1} \ {s}

二次閉ループ制御システムの伝達関数は、

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega _n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}

ケース1：δ= 0

代替、伝達関数の$ \ delta = 0 $。

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2}

\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）

上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。

C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s ^ 2 + \ omega_n ^ 2）}

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ left（1- \ cos（\ omega_n t）\ right）u（t）

したがって、$/delta = 0 $のときの2次システムの単位ステップ応答は、振幅と周波数が一定の連続時間信号になります。

ケース2：δ= 1

代わりに、伝達関数で$/delta = 1 $を使用します。

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}

\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）R（s）

上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。

C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ omega_n）^ 2}

$ C（s）$の部分分数を実行します。

C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ omega_n）^ 2} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {s + \ omega_n } + \ frac \ {C} \ {（s + \ omega_n）^ 2}

単純化した後、A、B、Cの値をそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：-\ omega _n $として取得します。 上記の$ C（s）$の部分分数展開でこれらの値を置き換えます。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {1} \ {s + \ omega_n}-\ frac \ {\ omega_n} \ {（s + \ omega_n）^ 2}

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）=（1-e ^ \ {-\ omega_nt}-\ omega _nte ^ \ {-\ omega_nt}）u（t）

したがって、2次システムのユニットステップ応答は、定常状態でステップ入力に到達しようとします。

ケース3：0 <δ<1

次のように伝達関数の分母項を変更することができます-

s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \\ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2

=（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）

伝達関数は、

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}

\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）R （s）

上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。

C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）\ left（ \ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2 ）\ right）}

$ C（s）$の部分分数を実行します。

C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）\ right）} = \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {Bs + C} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}

簡略化した後、A、B、Cの値をそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：−2 \ delta \ omega _n $として取得します。 上記のC（s）の部分分数展開でこれらの値を代入します。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {s + 2 \ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}

C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {s + \ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}-\ frac \ {\ delta \ omega_n} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}

$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {（s + \ delta \ omega_n）} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 +（\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}）^ 2}-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac \ {\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2 }} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 +（\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}）^ 2} \ right）$

上記の式の$ \ omega_d $を$ \ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} $に置き換えます。

$$ C（s）= \ frac \ {1} \ {s}-\ frac \ {（s + \ delta \ omega_n）} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2}-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac \ {\ omega_d} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right）$ $

両側に逆ラプラス変換を適用します。

c（t）= \ left（1-e ^ \ {-\ delta \ omega_nt} \ cos（\ omega_dt）-\ frac \ {\ delta} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} e ^ \ {-\ delta \ omega_nt} \ sin（\ omega_dt）\ right）u（t）

c（t）= \ left（1- \ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ left（（\ sqrt \ {1 -\ delta ^ 2}）\ cos（\ omega_dt）+ \ delta \ sin（\ omega_dt）\ right）\ right）u（t）

$ \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} = \ sin（\ theta）$の場合、「δ」はcos（θ）になります。 上記の式でこれらの値を代入します。

c（t）= \ left（1- \ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}}（\ sin（\ theta）\ cos （\ omega_dt）+ \ cos（\ theta）\ sin（\ omega_dt））\ right）u（t）

\ Rightarrow c（t）= \ left（1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \ theta）\ right）u（t）

したがって、2次システムの単位ステップ応答は、「δ」がゼロと1の間にあるときに減衰振動（振幅の減少）を起こします。

ケース4：δ> 1

次のように伝達関数の分母項を変更することができます-

s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \\ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2

= \ left（s + \ delta \ omega_n \ right）^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left（\ delta ^ 2-1 \ right）

伝達関数は、

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2- 1）}

\ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2-1）} \ right）R （s）

上の式の$ R（s）= \ frac \ {1} \ {s} $を代入します。

$ C（s）= \ left（\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（s + \ delta \ omega_n）^ 2-（\ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）^ 2} \ right ）\ left（\ frac \ {1} \ {s} \ right）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}） （s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $

$ C（s）$の部分分数を実行します。

C（s）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）}

= \ frac \ {A} \ {s} + \ frac \ {B} \ {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} + \ frac \ {C} \ { s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}}

単純化した後、A、B、Cの値は1として取得されます。$ \ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $および$ \ frac \ {-1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} $それぞれ。 上記の$ C（s）$の部分分数展開でこれらの値を置き換えます。

C（s）= \ frac \ {1} \ {s} + \ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ left（\ frac \ {1} \ {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} \ right）-\ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ right）\ left（\ frac \ {1} \ {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}} \ right）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

$ c（t）= \ left（1+ \ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta + \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1} ）} \ right）e ^ \ {-（\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）t}-\ left（\ frac \ {1} \ {2（\ delta- \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt \ {\ delta ^ 2-1}）} \ right）e ^ \ {-（\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt \ {\ delta ^ 2-1 }）t} \ right）u（t）$

それは過減衰であるため、δ> 1の場合の2次システムの単位ステップ応答は、定常状態ではステップ入力に到達しません。

二次システムのインパルス応答

2次システムの*インパルス応答*は、これら2つの方法のいずれかを使用して取得できます。

• $ R（s）$の値を$ \ frac \ {1} \ {s} $ではなく1と見なして、ステップ応答を導出しながら、関連する手順に従います。
• ステップ応答の微分を行います。

次の表は、減衰比が4つの場合の2次システムのインパルス応答を示しています。

Condition of Damping ratio	Impulse response for t ≥ 0
δ = 0	$\omega_n\sin(\omega_nt)$
δ = 1	$\omega_n2te\{-\omega_nt}$
0 < δ < 1	$\left ( \frac\{\omega_ne\{-\delta\omega_nt}}\{\sqrt\{1-\delta2}} \right )\sin(\omega_dt)$
δ > 1	$\left ( \frac\{\omega_n}\{2\sqrt\{\delta^2-1}} \right )\left ( e\{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt\{\delta2-1})t}-e\{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt\{\delta2-1})t} \right )$

時間領域の仕様

この章では、2次システムの時間領域の仕様について説明します。 減衰不足の場合の2次システムのステップ応答を次の図に示します。

タイムドメイン

すべての時間領域の仕様がこの図に示されています。 整定時間までの応答は過渡応答と呼ばれ、整定時間後の応答は定常状態応答と呼ばれます。

遅延時間

応答がゼロの瞬間から*その最終値の半分*に達するのに必要な時間です。 $ t_d $で示されます。

「δ」がゼロと1の間にあるとき、t≥0の2次システムのステップ応答を考えます。

c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）

ステップ応答の最終値は1です。

したがって、$ t = t_d $では、ステップ応答の値は0.5になります。 上の式のこれらの値を代入してください。

c（t_d）= 0.5 = 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_d}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_d + \ theta）

$$ \ Rightarrow \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_d}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_d + \ theta）= 0.5 $ $

線形近似を使用すると、次のように*遅延時間t〜d〜*が得られます。

t_d = \ frac \ {1 + 0.7 \ delta} \ {\ omega_n}

立ち上がり時間

応答が最終値の* 0％から100％に上昇するのに必要な時間です。 これは、*減衰システム*に適用されます。 過減衰システムの場合、最終値の10％〜90％の期間を考慮してください。 立ち上がり時間は t〜r〜*で示されます。

t = t〜1〜= 0、c（t）= 0で。

ステップ応答の最終値は1であることを知っています。

したがって、$ t = t_2 $では、ステップ応答の値は1です。 代わりに、これらの値は次の式で表されます。

c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）

c（t_2）= 1 = 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_2}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）

$$ \ Rightarrow \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_2}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）= 0 $ $

\右矢印\ sin（\ omega_dt_2 + \ theta）= 0

\右矢印\ omega_dt_2 + \ theta = \ pi

\ Rightarrow t_2 = \ frac \ {\ pi- \ theta} \ {\ omega_d}

t〜1〜およびt〜2〜の値を次の rise time の方程式に代入します。

t_r = t_2-t_1

\ therefore \：t_r = \ frac \ {\ pi- \ theta} \ {\ omega_d}

上記の式から、立ち上がり時間$ t_r $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例していると結論付けることができます。

ピーク時

応答が初めて*ピーク値*に達するのに必要な時間です。 $ t_p $で示されます。 $ t = t_p $では、応答の最初の導関数はゼロです。

減衰不足の場合の2次システムのステップ応答は次のとおりです。

c（t）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \シータ）

「t」に関して$ c（t）$を微分します。

\ frac \ {\ text \ {d} c（t）} \ {\ text \ {d} t} =-\ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ omega_d \ cos（\ omega_dt + \ theta）-\ left（\ frac \ {-\ delta \ omega_ne ^ \ {-\ delta \ omega_nt}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \ theta）

上記の式の$ t = t_p $および$ \ frac \ {\ text \ {d} c（t）} \ {\ text \ {d} t} = 0 $を代入します。

0 =-\ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_p}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ left [\ omega_d \ cos（\ omega_dt_p + \シータ）-\ delta \ omega_n \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）\ right]

\右矢印\ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} \ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ delta \ omega_n \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0

\ Rightarrow \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2} \ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ delta \ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0

\右矢印\ sin（\ theta）\ cos（\ omega_dt_p + \ theta）-\ cos（\ theta）\ sin（\ omega_dt_p + \ theta）= 0

\右矢印\ sin（\ theta- \ omega_dt_p- \ theta）= 0

\ Rightarrow sin（-\ omega_dt_p）= 0 \ Rightarrow-\ sin（\ omega_dt_p）= 0 \ Rightarrow sin（\ omega_dt_p）= 0

\右矢印\ omega_dt_p = \ pi

\ Rightarrow t_p = \ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d}

上記の式から、ピーク時間$ t_p $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例していると結論付けることができます。

ピークオーバーシュート

ピークオーバーシュート* M〜p〜*は、応答の最終値からのピーク時の応答の偏差として定義されます。 *最大オーバーシュート*とも呼ばれます。

数学的には、次のように書くことができます

M_p = c（t_p）-c（\ infty）

どこで、

c（t〜p〜）は、応答のピーク値です。

c（∞）は、応答の最終（定常状態）値です。

$ t = t_p $では、応答c（t）は-

c（t_p）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_nt_p}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt_p + \シータ）

上記の式の右辺にある$ t_p = \ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} $に置き換えます。

c（t_P）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ delta \ omega_n \ left（\ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} \ right）}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin \ left（\ omega_d \ left（\ frac \ {\ pi} \ {\ omega_d} \ right）+ \ theta \ right）

\ Rightarrow c（t_p）= 1- \ left（\ frac \ {e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）（-\ sin（\ theta））

私達はことを知っています

\ sin（\ theta）= \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}

したがって、次のように$ c（t_p）$を取得します。

c（t_p）= 1 + e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}

ピークオーバーシュート方程式の$ c（t_p）$および$ c（\ infty）$の値を代入します。

M_p = 1 + e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}-1

\ Rightarrow M_p = e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）}

ピークオーバーシュートの割合％ $ M_p $は、この式を使用して計算できます。

\％M_p = \ frac \ {M_p} \ {c（\ infty）} \ times 100 \％

上記の式で$ M_p $と$ c（\ infty）$の値を代入すると、ピークオーバーシュートの割合$ \％M_p $が次のようになります。

\％M_p = \ left（e ^ \ {-\ left（\ frac \ {\ delta \ pi} \ {\ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}} \ right）} \ right）\ times 100 \％

上記の式から、減衰比$ \ delta $が増加すると、ピークオーバーシュート$ \％M_p $の割合が減少すると結論付けることができます。

整定時間

応答が定常状態に到達し、最終値の周りの指定された許容範囲内に留まるのに必要な時間です。 一般に、許容範囲は2％と5％です。 整定時間は$ t_s $で示されます。

5％の許容帯域の整定時間は-

t_s = \ frac \ {3} \ {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau

2％の許容範囲の整定時間は-

t_s = \ frac \ {4} \ {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau

ここで、$ \ tau $は時定数で、$ \ frac \ {1} \ {\ delta \ omega_n} $と等しくなります。

• 整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は、減衰比$ \ delta $に反比例します。
• 整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は、システムゲインに依存しません。 つまり、システムのゲインが変更されても、整定時間$ t_s $および時定数$ \ tau $は変更されません。

例

単位ステップ信号がこの制御システムへの入力として適用されるとき、閉ループ伝達関数$ \ frac \ {4} \ {s ^ 2 + 2s + 4} $を持つ制御システムの時間領域仕様を見つけましょう。 。

二次閉ループ制御システムの伝達関数の標準形は

\ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}

これら2つの伝達関数を等式化することにより、減衰のない固有振動数$ \ omega_n $を2ラジアン/秒、減衰比$ \ delta $を0.5として取得します。

減衰周波数$ \ omega_d $の公式は

\ omega_d = \ omega_n \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}

上の式の$ \ omega_n $および$ \ delta $の値を代入します。

\ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt \ {1-（0.5）^ 2}

\右矢印\ omega_d = 1.732 \：rad/sec

置換、次の関係の$ \ delta $値

\ theta = \ cos ^ \ {-1} \ delta

\右矢印\ theta = \ cos ^ \ {-1}（0.5）= \ frac \ {\ pi} \ {3} \：rad

各時間領域仕様の式で上記の必要な値を代入し、与えられた伝達関数の時間領域仕様の値を取得するために単純化します。

次の表に、時間領域の仕様の公式、必要な値の置換、および最終値を示します。

Time domain specification	Formula	Substitution of values in Formula	Final value
Delay time	$t_d=\frac\{1+0.7\delta}\{\omega_n}$	$t_d=\frac\{1+0.7(0.5)}{2}$	$t_d$=0.675 sec
Rise time	$t_r=\frac\{\pi-\theta}\{\omega_d}$	$t_r=\frac\{\pi-(\frac\{\pi}{3})}\{1.732}$	$t_r$=1.207 sec
Peak time	$t_p=\frac\{\pi}\{\omega_d}$	$t_p=\frac\{\pi}\{1.732}$	$t_p$=1.813 sec
% Peak overshoot	$\%M_p=\left( e^\{-\left (\frac\{\delta\pi}\{\sqrt\{1-\delta^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\%M_p=\left( e^\{-\left (\frac\{0.5\pi}\{\sqrt\{1-(0.5)^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\% \: M_p$=16.32%
Settling time for 2% tolerance band	$t_s=\frac{4}\{\delta\omega_n}$	$t_S=\frac{4}\{(0.5)(2)}$	$t_s$=4 sec

制御システム-定常状態エラー

定常状態中の制御システムの出力の望ましい応答からの偏差は、*定常状態誤差*として知られています。 $ e _ \ {ss} $として表されます。 次のように、最終値定理を使用して定常状態エラーを見つけることができます。

e _ \ {ss} = \ lim _ \ {t \ to \ infty} e（t）= \ lim _ \ {s \ to 0} sE（s）

どこで、

E（s）はエラー信号のラプラス変換、$ e（t）$

ユニティフィードバックおよび非ユニティフィードバック制御システムの定常状態エラーを1つずつ見つける方法について説明します。

Unityフィードバックシステムの定常状態エラー

次の閉ループ制御システムのブロック図を考えてみましょう。これには、ユニティフィードバックがあります。

Steady State Negative Error

どこで、

• R（s）は、参照入力信号$ r（t）$のラプラス変換です。
• C（s）は、出力信号$ c（t）$のラプラス変換です。

ユニティ負帰還閉ループ制御システムの伝達関数は

\ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）}

\ Rightarrow C（s）= \ frac \ {R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}

加算ポイントの出力は-

E（s）= R（s）-C（s）

上記の式で$ C（s）$値を代入します。

E（s）= R（s）-\ frac \ {R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}

\ Rightarrow E（s）= \ frac \ {R（s）+ R（s）G（s）-R（s）G（s）} \ {1 + G（s）}

\ Rightarrow E（s）= \ frac \ {R（s）} \ {1 + G（s）}

定常状態誤差の式に$ E（s）$値を代入

e _ \ {ss} = \ lim _ \ {s \ to 0} \ frac \ {sR（s）} \ {1 + G（s）}

次の表は、単位ステップ、単位ランプ、単位放物線信号などの標準入力信号の定常状態誤差と誤差定数を示しています。

Input signal	Steady state error $e_{ss}$	Error constant
unit step signal	$\frac{1}\{1+k_p}$	$K_p=\lim_\{s \to 0}G(s)$
unit ramp signal	$\frac{1}{K_v}$	$K_v=\lim_\{s \to 0}sG(s)$
unit parabolic signal	$\frac{1}{K_a}$	$K_a=\lim_\{s \to 0}s^2G(s)$

ここで、$ K_p $、$ K_v $、および$ K_a $は、それぞれ位置誤差定数、速度誤差定数、および加速度誤差定数です。

注-上記の入力信号のいずれかが1以外の振幅を持っている場合、対応する定常状態誤差をその振幅で乗算します。

注-単位インパルス信号の定常状態誤差は、原点にのみ存在するため定義できません。 したがって、インパルス応答を単位インパルス入力と比較することはできません。 t は無限を示します。

例

入力信号$ r（t）= \ left（5 + 2t + \ frac \ {t ^ 2} \ {2} \ right）u（t）$の定常状態誤差を見つけましょう$ G（s）= \ frac \ {5（s + 4）} \ {s ^ 2（s + 1）（s + 20）} $

与えられた入力信号は、3つの信号ステップ、ランプおよび放物線の組み合わせです。 次の表は、これら3つの信号の誤差定数と定常状態誤差値を示しています。

Input signal	Error constant	Steady state error
$r_1(t)=5u(t)$	$K_p=\lim_\{s \to 0}G(s)=\infty$	$e_{ss1}=\frac{5}\{1+k_p}=0$
$r_2(t)=2tu(t)$	$K_v=\lim_\{s \to 0}sG(s)=\infty$	$e_{ss2}=\frac{2}{K_v}=0$
$r_3(t)=\frac\{t^2}{2}u(t)$	$K_a=\lim_\{s \to 0}s^2G(s)=1$	$e_{ss3}=\frac{1}{k_a}=1$

上記の3つの定常状態エラーを追加することにより、全体的な定常状態エラーを取得します。

e _ \ {ss} = e _ \ {ss1} + e _ \ {ss2} + e _ \ {ss3}

\ Rightarrow e _ \ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1

したがって、この例では 1 として定常状態エラー$ e _ \ {ss} $が発生しました。

非ユニティフィードバックシステムの定常状態エラー

次の閉ループ制御システムのブロック図を考えてみましょう。これには、非ユニティの負のフィードバックがあります。

非ユニティ

ユニティフィードバックシステムでのみ定常状態エラーを見つけることができます。 したがって、非ユニティフィードバックシステムをユニティフィードバックシステムに変換する必要があります。 このため、上記のブロック図に1つの正のフィードバックパスと1つの負のフィードバックパスを含めます。 新しいブロック図は次のようになります。

ユニティネガティブステート

ユニティネガティブフィードバックをそのままにして、上記のブロック図を単純化します。 以下は、簡略化されたブロック図です。

簡略化された負の図

このブロック図は、単一の負帰還閉ループ制御システムのブロック図に似ています。 ここで、単一ブロックは、$ G（s）$の代わりに伝達関数$ \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）-G（s）} $を持っています。 これで、ユニティネガティブフィードバックシステムに与えられた定常状態誤差の式を使用して、定常状態誤差を計算できます。

注-不安定な閉ループシステムの定常状態エラーを見つけることは無意味です。 そのため、閉ループ安定システムの場合にのみ、定常状態エラーを計算する必要があります。 つまり、定常状態エラーを見つける前に、制御システムが安定しているかどうかを確認する必要があります。 次の章では、概念に関連する安定性について説明します。

制御システム-安定性

安定性は重要な概念です。 この章では、システムの安定性と、安定性に基づいたシステムの種類について説明します。

安定性とは何ですか？

出力が制御されている場合、システムは安定していると言われます。 そうでなければ、それは不安定であると言われます。 *安定したシステム*は、指定された制限された入力に対して制限された出力を生成します。

次の図は、安定したシステムの応答を示しています。

安定性

これは、単位ステップ入力に対する1次制御システムの応答です。 この応答の値は0〜1です。 したがって、出力は制限されています。 単位ステップ信号は、ゼロを含む t のすべての正の値に対して1の値を持つことがわかっています。 したがって、入力は制限されています。 したがって、入力と出力の両方が制限されているため、1次制御システムは安定しています。

安定性に基づくシステムの種類

次のように、安定性に基づいてシステムを分類できます。

• 絶対に安定したシステム
• 条件付き安定システム
• わずかに安定したシステム

絶対に安定したシステム

システムがシステムコンポーネントの値のすべての範囲で安定している場合、完全に安定したシステム*と呼ばれます。 開ループ制御システムは、開ループ伝達関数のすべての極が 's’プレーン*の左半分に存在する場合、完全に安定しています。 同様に、閉ループ伝達関数のすべての極が「s」平面の左半分に存在する場合、閉ループ制御システムは完全に安定しています。

条件付き安定システム

システムが特定の範囲のシステムコンポーネント値に対して安定している場合、*条件付き安定システム*と呼ばれます。

わずかに安定したシステム

制限された入力に対して一定の振幅と一定の周波数の振動で出力信号を生成することによりシステムが安定している場合、それは「限界安定システム」として知られています。 開ループ伝達関数の2つの極が虚軸上に存在する場合、開ループ制御システムはわずかに安定します。 同様に、閉ループ伝達関数の2つの極が虚軸上に存在する場合、閉ループ制御システムはわずかに安定しています。

制御システム-安定性分析

この章では、RouthHurwitz安定性基準を使用した ’s ドメインでの安定性解析について説明します。 この基準では、閉ループ制御システムの安定性を見つけるための特性方程式が必要です。

ラウツ・ハービッツ安定性基準

Routh-Hurwitz安定性基準には、安定性に必要な条件と十分な条件が1つずつあります。 制御システムが必要条件を満たさない場合、制御システムは不安定であると言えます。 しかし、制御システムが必要な条件を満たす場合、安定している場合と安定していない場合があります。 したがって、十分な条件は、制御システムが安定しているかどうかを知るのに役立ちます。

Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件

必要な条件は、特性多項式の係数が正であることです。 これは、特性方程式のすべての根が負の実数部を持つ必要があることを意味します。

次数「n」の特性方程式を考えてみましょう-

a_0s ^ n + a_1s ^ \ {n-1} + a_2s ^ \ {n-2} + ... + a _ \ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0

*n ^ th ^* 次の特性式に欠落している用語がないように注意してください。 これは、 *n ^ th ^* 次の特性方程式にゼロ値の係数が含まれていないことを意味します。

Routh-Hurwitz安定性の十分条件

十分な条件は、Routh配列の最初の列のすべての要素が同じ符号を持つ必要があることです。 これは、Routh配列の最初の列のすべての要素が正または負でなければならないことを意味します。

口配列法

特性方程式のすべての根が「s」平面の左半分に存在する場合、制御システムは安定しています。 特性方程式の少なくとも1つのルートが「s」平面の右半分に存在する場合、制御システムは不安定です。 そのため、制御システムが安定か不安定かを知るために、特性方程式の根を見つける必要があります。 しかし、次数が増加するにつれて特性方程式の根を見つけることは困難です。

そこで、この問題を解決するために、 Routh array method を使用します。 この方法では、特性方程式の根を計算する必要はありません。 最初にRouthテーブルを作成し、Routhテーブルの最初の列で符号変化の数を見つけます。 Routhテーブルの最初の列の符号変化の数は、「s」平面の右半分に存在する特性方程式の根の数を示し、制御システムは不安定です。

Routhテーブルを作成するには、次の手順に従います。

• 以下の表に記載されているように、Routh配列の最初の2行に特性多項式の係数を入力します。 $ s ^ n $の係数から始めて、$ s ^ 0 $の係数まで続けます。 Routh配列の残りの行に、次の表に記載されている要素を入力します。 row $ s ^ 0 $ *の最初の列要素が$ a_n $になるまで、このプロセスを続けます。 ここで、$ a_n $は特性多項式の$ s ^ 0 $の係数です。

注-Routhテーブルの行要素に共通の因子がある場合、単純化のためにその要素で行要素を分割できます。

次の表は、n ^ th ^次の特性多項式のRouth配列を示しています。

a_0s ^ n + a_1s ^ \ {n-1} + a_2s ^ \ {n-2} + ... + a _ \ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	…​	…​
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	…​	…​
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	…​	…​	…​
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\vdots $	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

例

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0

• ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

特性多項式$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $の係数はすべて正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たす。

• ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac\{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac\{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac\{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}\{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

• ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。

Routh配列の最初の列のすべての要素は正です。 Routh配列の最初の列に符号の変更はありません。 したがって、制御システムは安定しています。

口配列の特殊なケース

Routhテーブルを作成しているときに、2種類の状況に遭遇する可能性があります。 これら2つの状況からRouthテーブルを完成させることは困難です。

2つの特別な場合は-

• Routh配列の任意の行の最初の要素はゼロです。
• Routh配列の任意の行の要素はすべてゼロです。

次に、これら2つのケースの難しさを1つずつ克服する方法について説明します。

Routh配列の任意の行の最初の要素はゼロです

Routh配列のいずれかの行に最初の要素のみがゼロであり、残りの要素の少なくとも1つがゼロ以外の値である場合、最初の要素を小さな正の整数$ \ epsilon $に置き換えます。 そして、Routhテーブルを完成させるプロセスを続けます。 ここで、$ \ epsilon $をゼ​​ロに置き換えることにより、Routhテーブルの最初の列で符号の変化の数を見つけます。

例

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0

• ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

特性多項式$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $のすべての係数は正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たしました。

• ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac\{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

行$ s ^ 3 $要素には、共通因子として2があります。 したがって、これらの要素はすべて2で除算されます。

特殊なケース（i）-行$ s ^ 2 $の最初の要素のみがゼロです。 したがって、$ \ epsilon $に置き換えて、Routhテーブルを完成させるプロセスを続行します。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac\{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}\{\epsilon}=\frac\{\epsilon-1}\{\epsilon}$
$s^0$	1

• ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。

$ \ epsilon $はゼロになる傾向があるため、Routhテーブルは次のようになります。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。 したがって、制御システムは不安定です。

Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロです

この場合、これらの2つの手順に従ってください-

• ゼロの行のすぐ上にある行の補助方程式A（s）を記述します。
• 補助方程式A（s）をsに関して微分します。 これらの係数でゼロの行を埋めます。

例

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0

• ステップ1 *-Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

与えられた特性多項式のすべての係数は正です。 したがって、制御システムは必要な条件を満たしました。

• ステップ2 *-指定された特性多項式のRouth配列を作成します。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac\{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

行$ s ^ 4 $要素の共通因子は3です。 したがって、これらの要素はすべて3で除算されます。

特殊なケース（ii）-行$ s ^ 3 $のすべての要素はゼロです。 そのため、行$ s ^ 4 $の補助方程式A（s）を記述します。

A（s）= s ^ 4 + s ^ 2 + 1

sに関して上記の方程式を微分します。

\ frac \ {\ text \ {d} A（s）} \ {\ text \ {d} s} = 4s ^ 3 + 2s

これらの係数を$ s ^ 3 $行に配置します。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac\{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac\{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac\{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}\{0.5}=\frac\{-1.5}\{0.5}=-3$
$s^0$	1

• ステップ3 *-Routh-Hurwitz安定性の十分条件を検証します。

Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。 したがって、制御システムは不安定です。

Routh-Hurwitz安定性基準では、閉ループ極が「s」平面の左半分にあるのか、「s」平面の右半分にあるのか、または虚軸上にあるのかを知ることができます。 そのため、制御システムの性質を見つけることができません。 この制限を克服するために、根軌跡として知られる手法があります。 この手法については、次の2つの章で説明します。

制御システム-根軌跡

根軌跡図では、閉ループ極の経路を観察できます。 したがって、制御システムの性質を特定できます。 この手法では、閉ループ制御システムの安定性を知るために、開ループ伝達関数を使用します。

根軌跡の基礎

根軌跡は、システムゲインKをゼロから無限大まで変化させることによる特性方程式の根の軌跡です。

閉ループ制御システムの特性方程式は

1 + G（s）H（s）= 0

$ G（s）H（s）$を次のように表すことができます

G（s）H（s）= K \ frac \ {N（s）} \ {D（s）}

どこで、

• Kは乗算係数を表します
• N（s）は、（因数分解された）n ^ th ^次の「s」の多項式を持つ分子項を表します。
• D（s）は、「s」の（因数分解された）m ^ th ^次の多項式を持つ分母項を表します。

置換、特性方程式の$ G（s）H（s）$値。

1 + k \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0

\右矢印D（s）+ KN（s）= 0

• ケース1 − K = 0 *

$ K = 0 $の場合、$ D（s）= 0 $です。

つまり、Kがゼロの場合、閉ループ極は開ループ極に等しくなります。

ケース2 − K =∞

上記の特性方程式を次のように書き換えます

K \ left（\ frac \ {1} \ {K} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} \ right）= 0 \ Rightarrow \ frac \ {1} \ {K} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0

上の式の$ K = \ infty $を代入します。

\ frac \ {1} \ {\ infty} + \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0 \ Rightarrow \ frac \ {N（s）} \ {D（s）} = 0 \右矢印N（s）= 0

$ K = \ infty $の場合、$ N（s）= 0 $です。 これは、Kが無限大のとき、閉ループの極が開ループのゼロに等しいことを意味します。

上記の2つのケースから、根軌跡の分岐は開ループの極で始まり、開ループのゼロで終わると結論付けることができます。

角度条件と大きさ条件

根軌跡分岐上の点は、角度条件を満たします。 そのため、角度条件を使用して、ポイントが根軌跡ブランチに存在するかどうかを確認します。 マグニチュード条件を使用して、根軌跡分岐上の点のKの値を見つけることができます。 したがって、ポイントにマグニチュード条件を使用でき、これは角度条件を満たします。

閉ループ制御システムの特性方程式は

1 + G（s）H（s）= 0

\右矢印G（s）H（s）=-1 + j0

$ G（s）H（s）$の*位相角*は

\ angle G（s）H（s）= \ tan ^ \ {-1} \ left（\ frac \ {0} \ {-1} \ right）=（2n + 1）\ pi

• 角度条件*は、開ループ伝達関数の角度が180 ^ 0 ^の奇数倍になる点です。

$ G（s）H（s）$の大きさは-

| G（s）H（s）| = \ sqrt \ {（-1）^ 2 + 0 ^ 2} = 1

マグニチュード条件は、開ループ伝達関数のマグニチュードが1になる点（角度条件を満たした点）です。

根軌跡の構築

• 根軌跡*は、s領域のグラフィカルな表現であり、実軸に関して対称です。 これは、開ループの極と零点がs領域に存在し、その値が実数または複素共役のペアであるためです。 この章では、根軌跡を構築（描画）する方法について説明します。

根軌跡の構築のルール

根軌跡を構築するには、これらの規則に従います。

• ルール1 *-「s」平面で開ループの極と零点を見つけます。

• ルール2 *-根軌跡の枝の数を見つけます。

根軌跡の分岐は開ループの極で始まり、開ループのゼロで終わることがわかっています。 したがって、根軌跡分岐の数 N は、有限開ループ極の数 P または有限開ループゼロの数 Z のいずれか大きいほうに等しくなります。

数学的には、根軌跡枝の数 N を次のように書くことができます。

$ P \ geq Z $の場合、$ N = P $

$ P <Z $の場合、$ N = Z $

• ルール3 *-*実軸の根軌跡の枝*を特定して描画します。

ある点での開ループ伝達関数の角度が180 ^ 0 ^の奇数倍である場合、その点は根軌跡上にあります。 奇数の開ループの極と零点が実軸上の点の左側に存在する場合、その点は根軌跡分岐上にあります。 したがって、この条件を満たすポイントのブランチは、根軌跡ブランチの実軸です。

• ルール4 *-漸近線の重心と角度を見つけます。

• $ P = Z $の場合、すべての根軌跡分岐は有限の開ループ極で始まり、有限の開ループゼロで終わります。
• $ P> Z $の場合、$ Z $の根軌跡分岐の数は有限の開ループ極で始まり、有限の開ループ零点で終わり、$ P − Z $の根軌跡分岐の数は有限の開ループ極で始まり、無限で終わります開ループのゼロ。
• $ P <Z $の場合、P個の根軌跡分岐は有限開ループ極で始まり、有限開ループゼロで終わり、$ Z − P $数の根軌跡分岐は無限開ループ極で始まり、有限開ループで終わりますゼロ。

そのため、$ P \ neq Z $の場合、根軌跡分岐の一部は無限に近づきます。 漸近線は、これらの根軌跡枝の方向を示します。 実軸上の漸近線の交点は centroid として知られています。

この式を使用して*重心α*を計算できます。

$ \ alpha = \ frac \ {\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \：poles \：-\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \：ゼロ} \ {PZ} $

• 漸近線θ*の角度の式は

\ theta = \ frac \ {（2q + 1）180 ^ 0} \ {P-Z}

どこで、

q = 0,1,2、....、（P-Z）-1

• ルール5 *-根軌跡の枝と虚軸の交点を見つけます。

Routh配列法と特別な* case（ii）を使用して、根軌跡分岐が虚軸と交差するポイントとそのポイントでの *K の値を計算できます。

• Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロの場合、根軌跡分岐は虚軸と交差し、その逆も同様です。
• 最初の要素をゼロにすると、行全体の要素がゼロになるように行を識別します。 この組み合わせの K の値を見つけます。
• この K 値を補助方程式に代入します。 根軌跡の枝と虚軸の交点を取得します。

• ルール6 *-ブレイクアウェイポイントとブレイクインポイントを見つけます。

• 2つの開ループ極の間に実軸の根軌跡分岐が存在する場合、これらの2つの開ループ極の間に*ブレークアウェイポイント*があります。
• 2つのオープンループゼロの間に実軸の根軌跡分岐が存在する場合、これら2つのオープンループゼロの間に*ブレークインポイント*があります。

注-ブレイクアウェイおよびブレイクインポイントは、実際の軸の根軌跡分岐にのみ存在します。

次の手順に従って、ブレークアウェイポイントとブレークインポイントを見つけます。

• 特性方程式$ 1 + G（s）H（s）= 0 $から$ s $で$ K $を記述します。
• sに関して$ K $を微分し、ゼロに等しくします。 上記の式で$ s $のこれらの値を代入します。
• $ K $値が正の$ s $の値は、*ブレークポイント*です。

• ルール7 *-出発角度と到着角度を見つけます。

出発角と到着角は、それぞれ複素共役開ループの極と複素共役開ループのゼロで計算できます。

出発角 $ \ phi_d $の式は

\ phi_d = 180 ^ 0- \ phi

到着角 $ \ phi_a $の式は

\ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi

どこで、

\ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z

例

ここで、開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= \ frac \ {K} \ {s（s + 1）（s + 5）} $を持つ制御システムの根軌跡を描きましょう。

• ステップ1 *-指定された開ループ伝達関数には、$ s = 0、s = -1 $、および$ s = -5 $に3つの極があります。 ゼロはありません。 したがって、根軌跡分岐の数は、開ループ伝達関数の極の数に等しくなります。

N = P = 3

根軌跡ブランチ

3つの極は、上の図に示されています。 $ s = -1 $と$ s = 0 $の間の線分は、実軸上の根軌跡の1つの分岐です。 また、実軸上の根軌跡の他の分岐は、$ s = -5 $の左側の線分です。

• ステップ2 *-指定された式を使用して、重心の値と漸近線の角度を取得します。

重心$ \ alpha = −2 $

漸近線の角度は$ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $および$ 300 ^ 0 $です。

次の図に、重心と3つの漸近線を示します。

セントロイド

• ステップ3 *-2つの漸近線の角度は$ 60 ^ 0 $と$ 300 ^ 0 $であるため、2つの根軌跡の枝は虚軸と交差します。 Routh配列法と特殊なケース（ii）を使用することにより、根軌跡の枝は$ j \ sqrt \ {5} $および$ -j \ sqrt \ {5} $で虚軸と交差します。

極$ s = -1 $と$ s = 0 $の間の実軸の根軌跡分岐上に1つのブレークアウェイポイントがあります。 ブレイクアウェイポイントの計算に指定された手順に従うことにより、$ s = −0.473 $として取得されます。

特定の制御システムの根軌跡図を次の図に示します。

Break Away

このようにして、任意の制御システムの根軌跡図を描画し、閉ループ伝達関数の極の動きを観察できます。

根軌跡図から、さまざまなタイプの減衰のK値の範囲を知ることができます。

開ループの極とゼロを追加することの根軌跡への影響

開ループの極と開ループのゼロを追加することにより、根の軌跡を* 's’面*に移動できます

• 開ループ伝達関数に極を含めると、根軌跡分岐の一部が「s」平面の右半分に向かって移動します。 このため、減衰比$ \ delta $は減少します。 つまり、減衰周波数$ \ omega_d $が増加し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域の仕様が減少します。 しかし、それはシステムの安定性に影響します。
• 開ループ伝達関数にゼロを含めると、根軌跡分岐の一部が「s」平面の左半分に向かって移動します。 そのため、制御システムの安定性が向上します。 この場合、減衰比$ \ delta $が増加します。 これは、減衰周波数$ \ omega_d $が減少し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域仕様が増加することを意味します。

したがって、要件に基づいて、開ループの極またはゼロを伝達関数に含める（追加する）ことができます。

周波数応答分析

制御システムの時間応答解析と2次制御システムの時間領域仕様についてはすでに説明しました。 この章では、制御システムの周波数応答解析と2次制御システムの周波数領域仕様について説明します。

周波数応答とは何ですか？

システムの応答は、過渡応答と定常状態応答の両方に分割できます。 フーリエ積分を使用して過渡応答を見つけることができます。 入力正弦波信号に対するシステムの定常応答は、*周波数応答*として知られています。 この章では、定常状態の応答のみに焦点を当てます。

正弦波信号が線形時不変（LTI）システムへの入力として適用される場合、それは正弦波信号でもある定常状態出力を生成します。 入力および出力正弦波信号は同じ周波数ですが、振幅と位相角が異なります。

入力信号を-

r（t）= A \ sin（\ omega_0t）

開ループ伝達関数は-

G（s）= G（j \ omega）

以下に示すように、振幅と位相の観点で$ G（j \ omega）$を表すことができます。

G（j \ omega）= | G（j \ omega）| \ angle G（j \ omega）

上記の式の$ \ omega = \ omega_0 $を代入します。

G（j \ omega_0）= | G（j \ omega_0）| \ angle G（j \ omega_0）

出力信号は

c（t）= A | G（j \ omega_0）| \ sin（\ omega_0t + \ angle G（j \ omega_0））

• 出力正弦波信号の*振幅*は、入力正弦波信号の振幅と$ \ omega = \ omega_0 $での$ G（j \ omega）$の大きさを乗算することによって得られます。
• 出力正弦波信号の*位相*は、入力正弦波信号の位相と$ G（j \ omega）$の位相を$ \ omega = \ omega_0 $で加算することにより得られます。

どこで、

• A は、入力正弦波信号の振幅です。
• *ω〜0〜*は、入力正弦波信号の角周波数です。

以下に示すように、角周波数$ \ omega_0 $を記述できます。

\ omega_0 = 2 \ pi f_0

ここで、$ f_0 $は入力正弦波信号の周波数です。 同様に、閉ループ制御システムについても同じ手順を実行できます。

周波数領域の仕様

周波数領域の仕様は、*共振ピーク、共振周波数、および帯域幅*です。

2次の閉ループ制御システムの伝達関数を次のように考えます。

$$ T（s）= \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $ $

上記の式の$ s = j \ omega $を代入します。

T（j \ omega）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（j \ omega）^ 2 + 2 \ delta \ omega_n（j \ omega）+ \ omega_n ^ 2}

\ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {-\ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2 \ left（1- \ frac \ {\ omega ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} + \ frac \ {2j \ delta \ omega} \ {\ omega_n} \ right）}

\ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac \ {1} \ {\ left（1- \ frac \ {\ omega ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} \ right）+ j \ left（\ frac \ {2 \ delta \ omega} \ {\ omega_n} \ right）}

たとえば、$ \ frac \ {\ omega} \ {\ omega_n} = u $この値を上記の式で置き換えます。

T（j \ omega）= \ frac \ {1} \ {（1-u ^ 2）+ j（2 \ delta u）}

$ T（j \ omega）$の大きさは-

M = | T（j \ omega）| = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2}}

$ T（j \ omega）$のフェーズは-

\ angle T（j \ omega）=-tan ^ \ {-1} \ left（\ frac \ {2 \ delta u} \ {1-u ^ 2} \ right）

共鳴周波数

これは、周波数応答の大きさが初めてピーク値を持つ周波数です。 $ \ omega_r $で示されます。 $ \ omega = \ omega_r $では、$ T（j \ omega）$の大きさの最初の導関数はゼロです。

$ u $に関して$ M $を微分します。

\ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（ 2 \ delta u）^ 2 \ right] ^ \ {\ frac \ {-3} \ {2}} \ left [2（1-u ^ 2）（-2u）+2（2 \ delta u）（2 \ delta）\ right]

\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2 \ right] ^ \ {\ frac \ {-3} \ {2}} \ left [4u（u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right]

上記の式の$ u = u_r $と$ \ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} == 0 $を代入します。

0 =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2 \ right] ^ \ {-\ frac \ {3} \ { 2}} \ left [4u_r（u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right]

\右矢印4u_r（u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）= 0

\右矢印u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0

\ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2

\ Rightarrow u_r = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

上記の式の$ u_r = \ frac \ {\ omega_r} \ {\ omega_n} $に置き換えます。

\ frac \ {\ omega_r} \ {\ omega_n} = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

\ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

共鳴ピーク

これは、$ T（j \ omega）$の大きさのピーク（最大）値です。 $ M_r $で示されます。

$ u = u_r $では、$ T（j \ omega）$の大きさは-

M_r = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2}}

上記の式の$ u_r = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2} $および$ 1-u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $を代入します。

M_r = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（2 \ delta ^ 2）^ 2 +（2 \ delta \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}）^ 2}}

\ Rightarrow M_r = \ frac \ {1} \ {2 \ delta \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}}

周波数応答の共振ピークは、特定の減衰比$ \ delta $の時間領域過渡応答のピークオーバーシュートに対応します。 そのため、共振ピークとピークオーバーシュートは互いに相関しています。

帯域幅

これは、$ T（j \ omega）$の大きさがゼロ周波数値から70.7％に低下する周波数の範囲です。

$ \ omega = 0 $では、$ u $の値はゼロになります。

置換、Mで$ u = 0 $

M = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-0 ^ 2）^ 2 +（2 \ delta（0））^ 2}} = 1

したがって、$ T（j \ omega）$の大きさは、$ \ omega = 0 $で1です。

3 dBの周波数では、$ T（j \ omega）$の大きさは、$ \ omega = 0 $での$ T（j \ omega）$の大きさの70.7％です。

つまり、$ \ omega = \ omega_B、M = 0.707（1）= \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {2}} $で

\ Rightarrow M = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {2}} = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_b） ^ 2}}

\ Rightarrow 2 =（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 u_b ^ 2

さあ、$ u_b ^ 2 = x $

\ Rightarrow 2 =（1-x）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 x

\右矢印x ^ 2 +（4 \ delta ^ 2-2）x-1 = 0

\ Rightarrow x = \ frac \ {-（4 \ delta ^ 2 -2）\ pm \ sqrt \ {（4 \ delta ^ 2-2）^ 2 + 4}} \ {2}

xの正の値のみを考慮してください。

x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2 \ delta ^ 2-1）^ 2 + 1}

\ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}

置換、$ x = u_b ^ 2 = \ frac \ {\ omega_b ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} $

\ frac \ {\ omega_b ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}

\右矢印\ omega_b = \ omega_n \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}}

周波数応答の帯域幅$ \ omega_b $は、時間領域過渡応答の立ち上がり時間$ t_r $に反比例します。

制御システム-ボード線図

ボード線図またはボード線図は、2つのプロットで構成されます-

• 大きさプロット
• 位相プロット

両方のプロットで、x軸は角周波数（対数目盛）を表します。 一方、yaxisは、振幅プロットの開ループ伝達関数の振幅（線形スケール）と位相プロットの開ループ伝達関数の位相角（線形スケール）を表します。

dB単位の開ループ伝達関数の*大きさ*は-

M = 20 \：\ log | G（j \ omega）H（j \ omega）|

度単位の開ループ伝達関数の*位相角*は-

\ phi = \ angle G（j \ omega）H（j \ omega）

注-対数の底は10です。

ボード線図の基本

次の表は、開ループ伝達関数に存在する項の勾配、大きさ、位相角の値を示しています。 このデータは、ボード線図を描くときに役立ちます。

Type of term	G(jω)H(jω)	Slope(dB/dec)	Magnitude (dB)	Phase angle(degrees)
Constant	$K$	$0$	$20 \log K$	$0$
Zero at origin	$j\omega$	$20$	$20 \log \omega$	$90$
‘n’ zeros at origin	$(j\omega)^n$	$20\: n$	$20\: n \log \omega$	$90\: n$
Pole at origin	$\frac{1}\{j\omega}$	$-20$	$-20 \log \omega$	$-90 \: or \: 270$
‘n’ poles at origin	$\frac{1}\{(j\omega)^n}$	$-20\: n$	$-20 \: n \log \omega$	$-90 \: n \: or \: 270 \: n$
Simple zero	$1+j\omega r$	$20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $ 20 \：\ log \ omega r \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ a	$ 0 \：for \：\ omega <\ frac \ {1} \ {r} $ $ 90 \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $
Simple pole	$\frac{1}\{1+j\omega r}$	$-20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $ -20 \：\ log \ omega r \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ a	$ 0 \：for \：\ omega <\ frac \ {1} \ {r} $ $ -90 \：または\：270 \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $
Second order derivative term	$\omega_n^2\left ( 1-\frac\{\omega2}\{\omega_n2}+\frac\{2j\delta\omega}\{\omega_n} \right )$	$40$	$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $ 20 \：\ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2）\：\：\ omega = \ omega_n $の場合 $ 40 \：\ log \：\ omega \：for \：\ omega> \ omega_n $ a	$ 0 \：for \：\ omega <\ omega_n $ 90ドル\：for \：\ omega = \ omega_n $ $ 180 \：for \：\ omega> \ omega_n $
Second order integral term	$\frac{1}\{\omega_n^2\left ( 1-\frac\{\omega2}\{\omega_n2}+\frac\{2j\delta\omega}\{\omega_n} \right )}$	$-40$	$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $ -20 \：\ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2）\：for \：\ omega = \ omega_n $ $ -40 \：\ log \：\ omega \：for \：\ omega> \ omega_n $ a	$ -0 \：for \：\ omega <\ omega_n $ $ -90 \：for \：\ omega = \ omega_n $ $ -180 \：for \：\ omega> \ omega_n $

開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= K $を考えます。

大きさ$ M = 20 \：\ log K $ dB

位相角$ \ phi = 0 $度

$ K = 1 $の場合、振幅は0 dBです。

$ K> 1 $の場合、大きさは正になります。

$ K <1 $の場合、大きさは負になります。

次の図は、対応するボード線図を示しています。

開ループ転送

開ループ転送度

振幅プロットは、周波数に依存しない水平線です。 Kの値が1の場合、0 dBライン自体が振幅プロットです。 Kの正の値の場合、水平線は$ 20 \：\ log K $ dBを0 dB線より上にシフトします。 Kが負の値の場合、水平線は$ 20 \：\ log K $ dBを0 dB線より下にシフトします。 ゼロ度の線自体は、Kのすべての正の値の位相プロットです。

開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= s $を考えます。

大きさ$ M = 20 \ log \ omega $ dB

位相角$ \ phi = 90 ^ 0 $

$ \ omega = 0.1 $ rad/secでは、振幅は-20 dBです。

$ \ omega = 1 $ rad/secでは、振幅は0 dBです。

$ \ omega = 10 $ rad/secでは、振幅は20 dBです。

次の図は、対応するボード線図を示しています。

image

開ループ水平度

振幅プロットは直線であり、20 dB/decの勾配を持っています。 この線は、$ \ omega = 0.1 $ラジアン/秒から始まり、-20 dBの大きさで、同じ勾配で続きます。 $ \ omega = 1 $ラジアン/秒で0 dBラインに接触しています。 この場合、位相プロットは90 ^ 0 ^ラインです。

開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= 1 + s \ tau $を考えます。

大きさ$ M = 20 \：log \ sqrt \ {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB

位相角$ \ phi = \ tan ^ \ {-1} \ omega \ tau $度

$ω<\ frac \ {1} \ {\ tau} $の場合、振幅は0 dB、位相角は0度です。

$ \ omega> \ frac \ {1} \ {\ tau} $の場合、振幅は$ 20 \：\ log \ omega \ tau $ dB、位相角は90 ^ 0 ^です。

次の図は、対応するボード線図を示しています。

マグニチュードライン

マグニチュードライン度

振幅プロットは、$ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ rad/secまで0 dBの振幅を持ちます。 $ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ラジアン/秒から、20 dB/decの勾配があります。 この場合、位相プロットは$ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ラジアン/秒まで0度の位相角を持ち、ここからは90 ^ 0 ^の位相角を持ちます。 このボード線図は、*漸近ボード線図*と呼ばれます。

振幅と位相のプロットは直線で表されるため、正確なボード線図は漸近ボード線図に似ています。 唯一の違いは、正確なボード線図には直線ではなく単純な曲線があることです。

同様に、表に示されている開ループ伝達関数の他の項のボード線図を描くことができます。

制御システム-ボード線図の作成

この章では、ボード線図を作成（描画）する方法を詳細に理解します。

ボード線図の作成規則

ボード線図を作成する際は、これらの規則に従ってください。

• 標準時定数形式で開ループ伝達関数を表します。
• 上記の方程式の$ s = j \ omega $を代入します。
• コーナー周波数を見つけて、昇順に並べます。
• ボード線図の開始周波数を最小コーナー周波数の1/10 ^^または0.1 rad/secのいずれか小さい値と見なし、ボード線図を最大コーナー周波数の10倍まで描画します。
• 各項の強度プロットを描画し、これらのプロットを適切に組み合わせます。
• 各項の位相プロットを描画し、これらのプロットを適切に組み合わせます。

注-コーナー周波数は、振幅プロットの勾配に変化がある周波数です。

例

閉ループ制御システムの開ループ伝達関数を考えます

G（s）H（s）= \ frac \ {10s} \ {（s + 2）（s + 5）}

この開ループ伝達関数を標準時定数形式に変換しましょう。

G（s）H（s）= \ frac \ {10s} \ {2 \ left（\ frac \ {s} \ {2} +1 \ right）5 \ left（\ frac \ {s} \ { 5} +1 \ right）}

\ Rightarrow G（s）H（s）= \ frac \ {s} \ {\ left（1+ \ frac \ {s} \ {2} \ right）\ left（1+ \ frac \ {s} \ {5} \ right）}

そのため、前述のルールを使用して、ボードプロットを半ログシートに描画できます。

ボード線図を使用した安定性解析

ボード線図から、これらのパラメーターの値に基づいて、制御システムが安定しているか、わずかに安定しているか、不安定であるかを判断できます。

• ゲインクロスオーバー周波数と位相クロスオーバー周波数
• ゲイン余裕と位相余裕

位相クロスオーバー周波数

位相プロットが-180 ^ 0 ^の位相を持つ周波数は、位相クロスオーバー周波数*として知られています。 $ \ omega _ \ {pc} $で示されます。 位相交差周波数の単位は *rad/sec です。

ゲインクロスオーバー周波数

振幅プロットがゼロdBの振幅を持つ周波数は、ゲインクロスオーバー周波数*として知られています。 $ \ omega _ \ {gc} $で示されます。 ゲインクロスオーバー周波数の単位は *rad/sec です。

位相交差周波数とゲイン交差周波数の関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも大きい場合、制御システムは*安定*です。
• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $と等しい場合、制御システムは*わずかに安定しています*。
• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも小さい場合、制御システムは*不安定*です。

利益率

ゲインマージン$ GM $は、位相交差周波数でのdB単位の大きさの負の値に等しくなります。

GM = 20 \ log \ left（\ frac \ {1} \ {M _ \ {pc}} \ right）= 20logM _ \ {pc}

ここで、$ M _ \ {pc} $は位相交差周波数での大きさです。 ゲインマージン（GM）の単位は dB です。

位相余裕

位相余裕$ PM $の式は

PM = 180 ^ 0 + \ phi _ \ {gc}

ここで、$ \ phi _ \ {gc} $はゲインクロスオーバー周波数での位相角です。 位相マージンの単位は*度*です。

ゲインマージンと位相マージンの関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

• ゲインマージン$ GM $と位相マージン$ PM $の両方が正の場合、制御システムは*安定*です。
• ゲインマージン$ GM $と位相マージン$ PM $の両方がゼロに等しい場合、制御システムは*わずかに安定*です。
• ゲインマージン$ GM $および/または位相マージン$ PM $が負の場合、制御システムは*不安定*です。

制御システム-極座標プロット

前の章では、ボード線図について説明しました。 周波数の関数として、振幅と位相の両方について2つの別々のプロットがあります。 極座標プロットについて説明します。 極座標プロットは、振幅と位相の間に描くことができるプロットです。 ここでは、大きさは通常の値のみで表されます。

$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の極形式は

G（j \ omega）H（j \ omega）= | G（j \ omega）H（j \ omega）| \ angle G（j \ omega）H（j \ omega）

• 極座標プロット*は、ゼロから∞まで$ \ omega $を変化させることで、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相角の間に描くことができるプロットです。 極座標グラフシートを次の図に示します。

極座標プロット

このグラフシートは、同心円と放射状の線で構成されます。 *同心円*と*放射状線*は、それぞれ大きさと位相角を表します。 これらの角度は、反時計回りの正の値で表されます。 同様に、時計回りに負の値を持つ角度を表すことができます。 たとえば、反時計回り方向の角度270 ^ 0 ^は、時計回り方向の角度-90 ^ 0 ^と等しくなります。

極座標プロットの描画規則

極座標プロットをプロットするには、次のルールに従います。

• 代替、開ループ伝達関数の$ s = j \ omega $。
• $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相の式を書きます。
• $ \ omega = 0 $を代入して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の開始振幅と位相を見つけます。 したがって、極座標プロットはこの大きさと位相角から始まります。
• $ \ omega = \ infty $を代入して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の終了振幅と位相を見つけます。 したがって、極座標プロットはこの大きさと位相角で終わります。
• $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の虚数項をゼロに設定して、極座標プロットが実軸と交差するかどうかを確認し、$ \ omega $の値を見つけます。
• $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の実数項をゼロに等しくし、$ \ omega $の値を見つけることにより、極座標プロットが虚軸と交差するかどうかを確認します。
• 極座標プロットをより明確に描画するには、$ \ omega $の他の値を考慮して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相を見つけます。

例

閉ループ制御システムの開ループ伝達関数を考えてください。

G（s）H（s）= \ frac \ {5} \ {s（s + 1）（s + 2）}

上記の規則を使用して、この制御システムの極座標プロットを描画しましょう。

• ステップ1 *-置換、開ループ伝達関数の$ s = j \ omega $。

G（j \ omega）H（j \ omega）= \ frac \ {5} \ {j \ omega（j \ omega + 1）（j \ omega + 2）}

開ループ伝達関数の大きさは

M = \ frac \ {5} \ {\ omega（\ sqrt \ {\ omega ^ 2 + 1}）（\ sqrt \ {\ omega ^ 2 + 4}）}

開ループ伝達関数の位相角は

\ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ \ {-1} \ omega- \ tan ^ \ {-1} \ frac \ {\ omega} \ {2}

• ステップ2 *-次の表は、$ \ omega = 0 $ rad/secおよび$ \ omega = \ infty $ rad/secにおける開ループ伝達関数の大きさと位相角を示しています。

Frequency (rad/sec)	Magnitude	Phase angle(degrees)
0	∞	-90 or 270
∞	0	-270 or 90

したがって、極座標プロットは（∞、−90 ^ 0 ^）で始まり、（0、−270 ^ 0 ^）で終わります。 括弧内の最初の項と2番目の項は、それぞれ振幅と位相角を示します。

• ステップ3 *-開始および終了極座標に基づいて、この極プロットは負の実軸と交差します。 負の実軸に対応する位相角は、-180 ^ 0 ^または180 ^ 0 ^です。 したがって、開ループ伝達関数の位相角を−180 ^ 0 ^または180 ^ 0 ^に等しくすることにより、$ \ omega $値を$ \ sqrt \ {2} $として取得します。

開ループ伝達関数の大きさに$ \ omega = \ sqrt \ {2} $を代入すると、$ M = 0.83 $になります。 したがって、極座標プロットは、$ \ omega = \ sqrt \ {2} $で、極座標が（0.83、−180 ^ 0 ^）の場合に負の実軸と交差します。

したがって、上記の情報を使用して極座標グラフシートに極座標プロットを描画できます。

制御システム-ナイキスト線図

ナイキストプロットは、ωを-∞から∞に変化させて閉ループ制御システムの安定性を見つけるための極座標プロットの続きです。 つまり、ナイキスト線図を使用して、開ループ伝達関数の完全な周波数応答を描画します。

ナイキスト安定性基準

ナイキスト安定性基準は、*引数の原理*で機能します。 P極があり、Zゼロが「s」平面の閉じたパスで囲まれている場合、対応する$ G（s）H（s）$平面は原点を$ P − Z $回囲む必要があります。 したがって、包囲の数Nを次のように書くことができます。

N = P-Z

• 囲まれた「s」平面の閉じたパスに極のみが含まれる場合、$ G（s）H（s）$平面の円の方向は、「s」平面の囲まれた閉じたパスの方向と反対になります。
• 囲まれた「s」平面の閉じたパスにゼロのみが含まれる場合、$ G（s）H（s）$平面の包囲の方向は、「s」の囲まれた閉じたパスの方向と同じ方向になります。飛行機。

閉じたパスとして選択することにより、「s」平面の右半分全体に引数の原理を適用してみましょう。 この選択されたパスは、*ナイキスト*輪郭と呼ばれます。

閉ループ伝達関数のすべての極が「s」平面の左半分にある場合、閉ループ制御システムが安定していることがわかります。 したがって、閉ループ伝達関数の極は、特性方程式の根に他なりません。 特性方程式の次数が増えると、根を見つけるのが難しくなります。 そこで、これらの特性方程式の根を次のように相関させましょう。

• 特性方程式の極は、開ループ伝達関数の極の極と同じです。
• 特性方程式の零点は、閉ループ伝達関数の極の零点と同じです。

「s」平面の右半分に開ループ極がない場合、開ループ制御システムは安定していることがわかります。

つまり、$ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

「s」平面の右半分に閉ループ極がない場合、閉ループ制御システムは安定していることがわかります。

すなわち、$ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

• ナイキスト安定性基準*は、臨界点（1 + j0）に関する包囲の数が特性方程式の極に等しくなければならないことを示しています。これは「s」の右半分の開ループ伝達関数の極にすぎません。飛行機。 原点の（1 + j0）へのシフトにより、特性方程式平面が得られます。

ナイキスト線図の描画規則

ナイキスト線図をプロットするには、次のルールに従います。

• 「s」平面で開ループ伝達関数$ G（s）H（s）$の極と零点を見つけます。
• $ \ omega $をゼロから無限大まで変化させて極座標プロットを描画します。 s = 0に極または零点が存在する場合、極座標プロットを描画するために$ \ omega $を0+から無限大まで変化させます。
• -∞からゼロ（s = 0に極またはゼロが存在する場合は0 ^-）の範囲の$ \ omega $の値について、上記の極座標プロットの鏡像を描きます。
• 無限半径の半円の数は、原点の極またはゼロの数に等しくなります。 無限半径の半円は、極座標プロットの鏡像が終了する点から始まります。 そして、この無限半径の半円は、極座標プロットが始まる点で終わります。

ナイキスト線図を描いた後、ナイキスト安定性基準を使用して閉ループ制御システムの安定性を見つけることができます。 臨界点（-1 + j0）が包囲の外側にある場合、閉ループ制御システムは完全に安定しています。

ナイキストプロットを使用した安定性解析

ナイキスト線図から、これらのパラメーターの値に基づいて、制御システムが安定しているか、わずかに安定しているか、不安定であるかを特定できます。

• ゲインクロスオーバー周波数と位相クロスオーバー周波数
• ゲイン余裕と位相余裕

位相クロスオーバー周波数

ナイキスト線図が負の実軸と交差する周波数（位相角は180 ^ 0 ^）は、*位相クロスオーバー周波数*として知られています。 $ \ omega _ \ {pc} $で示されます。

ゲインクロスオーバー周波数

ナイキスト線図の振幅が1になる周波数は、*ゲインクロスオーバー周波数*と呼ばれます。 $ \ omega _ \ {gc} $で示されます。

位相交差周波数とゲイン交差周波数の関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも大きい場合、制御システムは*安定*です。
• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $と等しい場合、制御システムは*わずかに安定しています*。
• 位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも小さい場合、制御システムは*不安定*です。

利益率

ゲインマージン$ GM $は、位相交差周波数でのナイキスト線図の大きさの逆数に等しくなります。

GM = \ frac \ {1} \ {M _ \ {pc}}

ここで、$ M _ \ {pc} $は、位相交差周波数での通常のスケールの大きさです。

位相余裕

位相マージン$ PM $は、180 ^ 0 ^とゲインクロスオーバー周波数での位相角の合計に等しくなります。

PM = 180 ^ 0 + \ phi _ \ {gc}

ここで、$ \ phi _ \ {gc} $はゲインクロスオーバー周波数での位相角です。

ゲインマージンと位相マージンの関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

• ゲインマージン$ GM $が1より大きく、位相マージン$ PM $が正の場合、制御システムは*安定*です。
• ゲインマージン$ GM $が1に等しく、位相マージン$ PM $がゼロ度の場合、制御システムは*わずかに安定*です。
• ゲインマージン$ GM $が1未満、および/または位相マージン$ PM $が負の場合、制御システムは*不安定*です。

制御システム-補償器

補償器には、遅延補償、鉛補償、および遅延鉛補償の3つのタイプがあります。 これらは最も一般的に使用されています。

遅延補償器

遅延補償器は、正弦波入力が適用されたときに位相遅れを持つ正弦波出力を生成する電気回路網です。 「s」ドメインの遅延補償回路を次の図に示します。

ラグ補正

ここでは、コンデンサが抵抗$ R_2 $と直列に接続され、この組み合わせで出力が測定されます。

この遅延補償器の伝達関数は-

\ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ frac \ {1} \ {\ alpha} \ left（\ frac \ {s + \ frac \ {1} \ {\ tau}} \ {s + \ frac \ {1} \ {\ alpha \ tau}} \ right）

どこで、

\ tau = R_2C

\ alpha = \ frac \ {R_1 + R_2} \ {R_2}

上記の式から、$ \ alpha $は常に1より大きくなります。

伝達関数から、遅延補償器には$ s = − \ frac \ {1} \ {\ alpha \ tau} $に1つの極があり、$ s =-\ frac \ {1} \ {に1つの零点があると結論付けることができます。 \ tau} $。 つまり、極は遅れ補償器の極-零点構成で原点に近くなります。

代用、伝達関数の$ s = j \ omega $。

\ frac \ {V_o（j \ omega）} \ {V_i（j \ omega）} = \ frac \ {1} \ {\ alpha} \ left（\ frac \ {j \ omega + \ frac \ {1} \ {\ tau}} \ {j \ omega + \ frac \ {1} \ {\ alpha \ tau}} \ right）

位相角$ \ phi = \ tan ^ \ {− 1} \ omega \ tau − tan ^ \ {− 1} \ alpha \ omega \ tau $

出力正弦波信号の位相は、入力正弦波信号と伝達関数の位相角の合計に等しいことがわかっています。

したがって、この補償器の出力で位相遅れを生成するには、伝達関数の位相角は負でなければなりません。 これは、$ \ alpha> 1 $のときに発生します。

リード補償器

リード補償器は、正弦波入力が適用されたときに位相進みを持つ正弦波出力を生成する電気回路網です。 「s」ドメインのリード補償回路を次の図に示します。

リード補償器

ここでは、コンデンサは抵抗$ R_1 $と並列であり、出力は抵抗$ R_2で測定されます。

このリード補償器の伝達関数は-

\ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ beta \ left（\ frac \ {s \ tau + 1} \ {\ beta s \ tau + 1} \ right）

どこで、

\ tau = R_1C

\ beta = \ frac \ {R_2} \ {R_1 + R_2}

伝達関数から、リード補償器の極は$ s = − \ frac \ {1} \ {\ beta} $にあり、ゼロは$ s = − \ frac \ {1} \ {\ beta \ tauにあると結論付けることができます。 } $。

代用、伝達関数の$ s = j \ omega $。

\ frac \ {V_o（j \ omega）} \ {V_i（j \ omega）} = \ beta \ left（\ frac \ {j \ omega \ tau + 1} \ {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right）

位相角$ \ phi = tan ^ \ {− 1} \ omega \ tau − tan ^ \ {− 1} \ beta \ omega \ tau $

出力正弦波信号の位相は、入力正弦波信号と伝達関数の位相角の合計に等しいことがわかっています。

したがって、この補償器の出力で位相進みを生成するには、伝達関数の位相角は正でなければなりません。 これは、$ 0 <\ beta <1 $のときに発生します。 したがって、ゼロは、リード補償器の極ゼロ構成で原点に近くなります。

ラグリード補償器

ラグリード補償器は、ある周波数領域で位相遅れを発生させ、他の周波数領域で位相進みを発生させる電気回路網です。 これは、遅延補償器と鉛補償器の両方の組み合わせです。 「s」ドメインのラグリード補償回路を次の図に示します。

ラグリード

この回路は、両方の補償器がカスケード接続されているように見えます。 したがって、この回路の伝達関数は、リードおよびラグ補償器の伝達関数の積になります。

\ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ beta \ left（\ frac \ {s \ tau_1 + 1} \ {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right）\ frac \ {1} \ {\ alpha} \ left（\ frac \ {s + \ frac \ {1} \ {\ tau_2}} \ {s + \ frac \ {1} \ {\ alpha \ tau_2}} \ right）

$ \ alpha \ beta = 1 $を知っています。

\ Rightarrow \ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ left（\ frac \ {s + \ frac \ {1} \ {\ tau_1}} \ {s + \ frac \ {1} \ {\ beta \ tau_1}} \ right）\ left（\ frac \ {s + \ frac \ {1} \ {\ tau_2}} \ {s + \ frac \ {1} \ {\ alpha \ tau_2}} \ right ）

どこで、

\ tau_1 = R_1C_1

\ tau_2 = R_2C_2

制御システム-コントローラー

制御システムのパフォーマンスを向上させるために、さまざまなタイプのコントローラーが使用されます。 この章では、比例コントローラ、微分コントローラ、積分コントローラなどの基本的なコントローラについて説明します。

比例コントローラー

比例コントローラは、エラー信号に比例する出力を生成します。

u（t）\ propto e（t）

\ Rightarrow u（t）= K_P e（t）

両側にラプラス変換を適用します-

U（s）= K_P E（s）

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = K_P

したがって、比例コントローラーの伝達関数は$ K_P $です。

どこで、

U（s）は、作動信号u（t）のラプラス変換です。

E（s）は、エラー信号e（t）のラプラス変換です。

K〜P〜は比例定数です

ユニティネガティブフィードバッククローズドループ制御システムと比例コントローラーのブロック図を次の図に示します。

比例コントローラー

比例コントローラは、要件に従って過渡応答を変更するために使用されます。

デリバティブコントローラー

微分コントローラーは、誤差信号の微分である出力を生成します。

u（t）= K_D \ frac \ {\ text \ {d} e（t）} \ {\ text \ {d} t}

両側にラプラス変換を適用します。

U（s）= K_D sE（s）

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = K_D s

したがって、導関数コントローラーの伝達関数は$ K_D s $です。

ここで、$ K_D $は微分定数です。

次の図に、ユニティネガティブフィードバッククローズドループ制御システムと微分コントローラーのブロック図を示します。

派生コントローラー

微分コントローラは、不安定な制御システムを安定したものにするために使用されます。

統合コントローラー

積分コントローラーは、エラー信号の積分である出力を生成します。

u（t）= K_I \ int e（t）dt

両側にラプラス変換を適用します-

U（s）= \ frac \ {K_I E（s）} \ {s}

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = \ frac \ {K_I} \ {s}

したがって、積分コントローラーの伝達関数は$ \ frac \ {K_I} \ {s} $です。

ここで、$ K_I $は整数定数です。

次の図に、一体型負帰還閉ループ制御システムと積分コントローラーのブロック図を示します。

統合コントローラー

積分コントローラーは、定常状態の誤差を減らすために使用されます。

次に、基本的なコントローラーの組み合わせについて説明します。

比例微分（PD）コントローラー

比例微分コントローラーは、比例コントローラーと微分コントローラーの出力の組み合わせである出力を生成します。

u（t）= K_P e（t）+ K_D \ frac \ {\ text \ {d} e（t）} \ {\ text \ {d} t}

ラプラス変換を両側に適用します-

U（s）=（K_P + K_D s）E（s）

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = K_P + K_D s

したがって、比例微分コントローラーの伝達関数は$ K_P + K_D s $です。

ユニティネガティブフィードバッククローズドループ制御システムと比例微分コントローラーのブロック図を次の図に示します。

比例微分

比例微分コントローラは、定常状態の誤差に影響を与えることなく制御システムの安定性を改善するために使用されます。

比例積分（PI）コントローラー

比例積分コントローラーは、比例コントローラーと積分コントローラーの出力の組み合わせである出力を生成します。

u（t）= K_P e（t）+ K_I \ int e（t）dt

ラプラス変換を両側に適用します-

U（s）= \ left（K_P + \ frac \ {K_I} \ {s} \ right）E（s）

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = K_P + \ frac \ {K_I} \ {s}

したがって、比例積分コントローラーの伝達関数は$ K_P + \ frac \ {K_I} \ {s} $です。

ユニティネガティブフィードバッククローズドループ制御システムと比例積分コントローラーのブロック図を次の図に示します。

比例積分

比例積分コントローラーは、制御システムの安定性に影響を与えることなく、定常状態の誤差を減らすために使用されます。

比例積分微分（PID）コントローラー

比例積分微分コントローラーは、比例コントローラー、積分コントローラー、微分コントローラーの出力の組み合わせである出力を生成します。

u（t）= K_P e（t）+ K_I \ int e（t）dt + K_D \ frac \ {\ text \ {d} e（t）} \ {\ text \ {d} t}

ラプラス変換を両側に適用します-

U（s）= \ left（K_P + \ frac \ {K_I} \ {s} + K_D s \ right）E（s）

\ frac \ {U（s）} \ {E（s）} = K_P + \ frac \ {K_I} \ {s} + K_D s

したがって、比例積分微分コントローラの伝達関数は、$ K_P + \ frac \ {K_I} \ {s} + K_D s $です。

ユニティネガティブフィードバッククローズドループ制御システムと比例積分微分コントローラーのブロック図を次の図に示します。

比例積分微分

比例積分微分コントローラーは、制御システムの安定性を改善し、定常状態誤差を減らすために使用されます。

制御システム-状態空間モデル

線形時不変（LTI）システムの*状態空間モデル*は、

\ dot \ {X} = AX + BU

Y = CX + DU

1番目と2番目の方程式は、それぞれ状態方程式と出力方程式として知られています。

どこで、

• Xと$ \ dot \ {X} $は、それぞれ状態ベクトルと差分状態ベクトルです。
• UとYは、それぞれ入力ベクトルと出力ベクトルです。
• Aはシステム行列です。
• BとCは、入力行列と出力行列です。
• Dはフィードフォワード行列です。

状態空間モデルの基本概念

この章に含まれる次の基本用語。

状態

これは変数のグループであり、システムの履歴を要約して将来の値（出力）を予測します。

状態変数

必要な状態変数の数は、システムに存在するストレージ要素の数と同じです。

例-インダクタを流れる電流、コンデンサ両端の電圧

状態ベクトル

これは、状態変数を要素として含むベクトルです。

前の章で、制御システムの2つの数学モデルについて説明しました。 それらは微分方程式モデルと伝達関数モデルです。 状態空間モデルは、これら2つの数学モデルのいずれかから取得できます。 次に、これら2つの方法を1つずつ説明します。

微分方程式からの状態空間モデル

次の一連のRLC回路を検討してください。 入力電圧$ v_i（t）$を持ち、回路を流れる電流は$ i（t）$です。

微分方程式RLC

この回路には、2つの蓄電素子（インダクタとコンデンサ）があります。 したがって、状態変数の数は2に等しく、これらの状態変数はインダクターを流れる電流$ i（t）$とコンデンサー両端の電圧$ v_c（t）$です。

回路からの出力電圧$ v_0（t）$は、コンデンサの電圧$ v_c（t）$に等しくなります。

v_0（t）= v_c（t）

ループの周りにKVLを適用します。

v_i（t）= Ri（t）+ L \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} + v_c（t）

\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} =-\ frac \ {Ri（t）} \ {L}-\ frac \ {v_c （t）} \ {L} + \ frac \ {v_i（t）} \ {L}

コンデンサ両端の電圧は-

v_c（t）= \ frac \ {1} \ {C} \ int i（t）dt

上記の方程式を時間に関して微分します。

\ frac \ {\ text \ {d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} = \ frac \ {i（t）} \ {C}

状態ベクトル、$ X = \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix} $

微分状態ベクトル、$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} \\\ frac \ {\ text \ {d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} \ end \ {bmatrix} $

微分方程式と出力方程式を状態空間モデルの標準形式に整理できます。

\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {\ text \ {d} i（t）} \ {\ text \ {d} t} \\\ frac \ {\ text \ { d} v_c（t）} \ {\ text \ {d} t} \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix}-\ frac \ {R} \ {L}＆-\ frac \ {1} \ {L} \\\ frac \ {1} \ {C}＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix} + \ begin \ { bmatrix} \ frac \ {1} \ {L} \\ 0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} v_i（t）\ end \ {bmatrix}

Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} i（t）\\ v_c（t）\ end \ {bmatrix}

どこで、

A = \ begin \ {bmatrix}-\ frac \ {R} \ {L}＆-\ frac \ {1} \ {L} \\\ frac \ {1} \ {C}＆0 \ end \ {bmatrix}、\：B = \ begin \ {bmatrix} \ frac \ {1} \ {L} \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\：C = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \：および\：D = \ begin \ {bmatrix} 0 \ end \ {bmatrix}

伝達関数からの状態空間モデル

分子に存在する項のタイプに基づいて、2種類の伝達関数を検討します。

• 分子内に定数項を持つ伝達関数。
• 分子に「s」の多項式関数を持つ伝達関数。

分子内に定数項を持つ伝達関数

システムの次の伝達関数を考えます

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {b_0} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1s + a_0}

上の式を次のように並べ替えます

（s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_0）Y（s）= b_0 U（s）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

\ frac \ {\ text \ {d} ^ ny（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + a _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + a_1 \ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ { \ text \ {d} t} + a_0y（t）= b_0 u（t）

Let

y（t）= x_1

\ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1

\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot \ {x} _2

。

。

。

\ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} = x_n = \ dot \ {x} _ \ {n-1}

\ frac \ {\ text \ {d} ^ ny（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} = \ dot \ {x} _n

および$ u（t）= u $

その後、

\ dot \ {x} _n + a _ \ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u

上記の方程式から、次の状態方程式を書くことができます。

\ dot \ {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + b_0 u

出力方程式は-

y（t）= y = x_1

状態空間モデルは-

$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \\\ vdots \\\ dot \ {x} _ \ {n-1} \ \\ dot \ {x} _n \ end \ {bmatrix} $

= \ begin \ {bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a _ \ {n-2}＆-a _ \ {n-1} \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} u \ end \ {bmatrix}

Y = \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆\ dotso＆0＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \ \ x_n \ end \ {bmatrix}

ここで、$ D = \ left [0 \ right]。$

例

伝達関数をもつシステムの状態空間モデルを見つけます。

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}

上の式を次のように並べ替えます。

（s ^ 2 + s + 1）Y（s）= U（s）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2y（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} + y（t）= u（t）

Let

y（t）= x_1

\ frac \ {\ text \ {d} y（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1

および$ u（t）= u $

次に、状態方程式は

\ dot \ {x} _2 = -x_1-x_2 + u

出力方程式は

y（t）= y = x_1

状態空間モデルは

\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \\- 1＆-1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 1 \ end \ {bmatrix} \ left [u \ right]

Y = \ begin \ {bmatrix} 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}

分子に「s」の多項式関数を持つ伝達関数

システムの次の伝達関数を考えます

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {b_n s ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1 s + a_0}

\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ left（\ frac \ {1} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1 } + ... + a_1 s + a_0} \ right）（b_n s ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0）

上記の式は、カスケード接続された2つのブロックの伝達関数の積の形式です。

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ left（\ frac \ {V（s）} \ {U（s）} \ right）\ left（\ frac \ {Y（ s）} \ {V（s）} \ right）

ここに、

\ frac \ {V（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_1 s + a_0}

上の式を次のように並べ替えます

（s ^ n + a _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + a_0）V（s）= U（s）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

\ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + a _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + a_1 \ frac \ {\ text \ {d} v（t）} \ { \ text \ {d} t} + a_0v（t）= u（t）

Let

v（t）= x_1

\ frac \ {\ text \ {d} v（（t）} \ {\ text \ {d} t} = x_2 = \ dot \ {x} _1

\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot \ {x} _2

。

。

。

\ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} = x_n = \ dot \ {x} _ \ {n-1}

\ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} = \ dot \ {x} _n

および$ u（t）= u $

次に、状態方程式は

\ dot \ {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + u

考えて、

\ frac \ {Y（s）} \ {V（s）} = b_ns ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0

上の式を次のように並べ替えます

Y（s）=（b_ns ^ n + b _ \ {n-1} s ^ \ {n-1} + ... + b_1s + b_0）V（s）

両側に逆ラプラス変換を適用します。

y（t）= b_n \ frac \ {\ text \ {d} ^ nv（t）} \ {\ text \ {d} t ^ n} + b _ \ {n-1} \ frac \ {\ text \ {d} ^ \ {n-1} v（t）} \ {\ text \ {d} t ^ \ {n-1}} + ... + b_1 \ frac \ {\ text \ {d} v （t）} \ {\ text \ {d} t} + b_0v（t）

上記の方程式で状態変数と$ y（t）= y $を代入すると、出力方程式は次のようになります。

y = b_n \ dot \ {x} _n + b _ \ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1

上の式の$ \ dot \ {x} _n $値に置き換えます。

y = b_n（-a_0x_1-a_1x_2 -...- a _ \ {n-1} x_n + u）+ b _ \ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1

y =（b_0-b_na_0）x_1 +（b_1-b_na_1）x_2 + ... +（b _ \ {n-1} -b_na _ \ {n-1}）x_n + b_n u

状態空間モデルは

$ \ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \\\ vdots \\\ dot \ {x} _ \ {n-1} \ \\ dot \ {x} _n \ end \ {bmatrix} $

= \ begin \ {bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a _ \ {n-2}＆-a _ \ {n-1} \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} u \ end \ {bmatrix}

Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b _ \ {n-2} -b_na _ \ {n-2} \ quad b _ \ {n-1} -b_na _ \ {n-1}] \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \ \ x _ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix}

$ b_n = 0 $の場合、

Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b _ \ {n-2} \ quad b _ \ {n-1}] \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ \ {n-1} \\ x_n \ end \ {bmatrix}

制御システム-状態空間解析

前の章では、微分方程式と伝達関数から状態空間モデルを取得する方法を学びました。 この章では、状態空間モデルから伝達関数を取得する方法について説明します。

状態空間モデルからの伝達関数

線形時不変（LTI）システムの状態空間モデルは-

\ dot \ {X} = AX + BU

Y = CX + DU

状態方程式の両側にラプラス変換を適用します。

sX（s）= AX（s）+ BU（s）

\ Rightarrow（sI-A）X（s）= BU（s）

\右矢印X（s）=（sI-A）^ \ {-1} BU（s）

出力方程式の両側にラプラス変換を適用します。

Y（s）= CX（s）+ DU（s）

上の式のX（s）値を代入します。

\右矢印Y（s）= C（sI-A）^ \ {-1} BU（s）+ DU（s）

\右矢印Y（s）= [C（sI-A）^ \ {-1} B + D] U（s）

\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B + D

上記の方程式は、システムの伝達関数を表します。 したがって、状態空間モデルで表されるシステムに対してこの式を使用することにより、システムの伝達関数を計算できます。

注意-$ D = [0] $の場合、伝達関数は

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B

例

状態空間モデルで表されるシステムの伝達関数を次のように計算します。

\ dot \ {X} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \ \ 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix} [u]

Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}

ここに、

A = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}、\ quad B = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\ quad C = \ begin \ {bmatrix} 0および1 \ end \ {bmatrix} \ quadおよび\ quad D = [0]

$ D = [0] $の場合の伝達関数の式は-

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = C（sI-A）^ \ {-1} B

上記の式のA、B、C行列を代入します。

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} s + 1＆1 \\-1＆ s \ end \ {bmatrix} ^ \ {-1} \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}

\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ frac \ {\ begin \ {bmatrix} s＆-1 \\ 1＆s + 1 \ end \ {bmatrix}} \ {（s + 1）s-1（-1）} \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}

\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {\ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} s \\ 1 \ end \ {bmatrix}} \ {s ^ 2 + s + 1} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}

したがって、与えられた状態空間モデルに対するシステムの伝達関数は

\ frac \ {Y（s）} \ {U（s）} = \ frac \ {1} \ {s ^ 2 + s + 1}

状態遷移行列とそのプロパティ

システムに初期条件がある場合、出力が生成されます。 この出力は、入力がない場合でも存在するため、 zero input response $ x _ \ {ZIR}（t）$と呼ばれます。 数学的には、次のように書くことができます。

x _ \ {ZIR}（t）= e ^ \ {At} X（0）= L ^ \ {-1} \ left \\ {\ left [sI-A \ right] ^ \ {-1} X （0）\ right \}

上記の関係から、状態遷移行列$ \ phi（t）$を次のように書くことができます。

\ phi（t）= e ^ \ {At} = L ^ \ {-1} [sI-A] ^ \ {-1}

したがって、状態遷移行列$ \ phi（t）$に初期条件行列を掛けることで、ゼロ入力応答を取得できます。

状態遷移マトリックスのプロパティは次のとおりです。

• $ t = 0 $の場合、状態遷移行列は単位行列と等しくなります。 + \ phi（0）= I
• 状態遷移マトリックスの逆は、「t」を「-t」で置き換えるだけで、状態遷移マトリックスの逆になります。 + \ phi ^ \ {-1}（t）= \ phi（−t）
• $ t = t_1 + t_2 $の場合、対応する状態遷移行列は、$ t = t_1 $および$ t = t_2 $での2つの状態遷移行列の乗算に等しくなります。 + \ phi（t_1 + t_2）= \ phi（t_1）\ phi（t_2）

可制御性と可観測性

次に、制御システムの可制御性と可観測性を1つずつ説明します。

可制御性

制御システムは、制御システムの初期状態が有限の持続時間で制御入力によって他の望ましい状態に転送（変更）される場合、「制御可能」であると言われます。

• カルマンのテスト*を使用して、制御システムの制御性を確認できます。

• 次の形式で行列$ Q_c $を記述します。 + Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ \ {n-1} B \ right]
• 行列$ Q_c $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは制御可能です。

可観測性

制御システムは、有限時間で出力を観察することにより制御システムの初期状態を決定できる場合、「観察可能」であると言われます。

• カルマンのテスト*を使用して、制御システムの可観測性を確認できます。

• 次の形式で行列$ Q_o $を記述します。 + Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad（A ^ T）^ 2C ^ T \ quad ... \ quad（A ^ T）^ \ {n-1} C ^ T \ right]
• 行列$ Q_o $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは観測可能です。

例

状態空間モデルで表される制御システムの可制御性と可観測性を検証してみましょう。

\ dot \ {x} = \ begin \ {bmatrix} \ dot \ {x} _1 \\\ dot \ {x} _2 \ end \ {bmatrix} = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \ \ 1＆0 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix} + \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix} [u]

Y = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \ end \ {bmatrix} \ begin \ {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end \ {bmatrix}

ここに、

A = \ begin \ {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}、\ quad B = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}、\ quad \ begin \ {bmatrix} 0および1 \ end \ {bmatrix}、D = [0] \ quadおよび\ quad n = 2

$ n = 2 $の場合、行列$ Q_c $は

Q_c = \ left [B \ quad AB \ right]

行列AとBの積を次のように取得します。

AB = \ begin \ {bmatrix} -1 \\ 1 \ end \ {bmatrix}

\ Rightarrow Q_c = \ begin \ {bmatrix} 1＆-1 \\ 0＆1 \ end \ {bmatrix}

| Q_c | = 1 \ neq 0

行列$ Q_c $の行列式はゼロに等しくないため、指定された制御システムは制御可能です。

$ n = 2 $の場合、行列$ Q_o $は-

Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right]

ここに、

A ^ T = \ begin \ {bmatrix} -1および1 \\-1および0 \ end \ {bmatrix} \ quadおよび\ quad C ^ T = \ begin \ {bmatrix} 0 \\ 1 \ end \ {bmatrix}

行列$ A ^ T $と$ C ^ T $の積を次のように取得します

A ^ TC ^ T = \ begin \ {bmatrix} 1 \\ 0 \ end \ {bmatrix}

\ Rightarrow Q_o = \ begin \ {bmatrix} 0＆1 \\ 1＆0 \ end \ {bmatrix}

\ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0

行列$ Q_o $の行列式はゼロに等しくないため、指定された制御システムは観測可能です。

したがって、指定された制御システムは制御可能かつ観察可能です。