Control-systems-polar-plots
制御システム-極座標プロット
前の章では、ボード線図について説明しました。 周波数の関数として、振幅と位相の両方について2つの別々のプロットがあります。 極座標プロットについて説明します。 極座標プロットは、振幅と位相の間に描くことができるプロットです。 ここでは、大きさは通常の値のみで表されます。
$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の極形式は
G（j \ omega）H（j \ omega）= | G（j \ omega）H（j \ omega）| \ angle G（j \ omega）H（j \ omega）
- 極座標プロット*は、ゼロから∞まで$ \ omega $を変化させることで、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相角の間に描くことができるプロットです。 極座標グラフシートを次の図に示します。
このグラフシートは、同心円と放射状の線で構成されます。 *同心円*と*放射状線*は、それぞれ大きさと位相角を表します。 これらの角度は、反時計回りの正の値で表されます。 同様に、時計回りに負の値を持つ角度を表すことができます。 たとえば、反時計回り方向の角度270 ^ 0 ^は、時計回り方向の角度-90 ^ 0 ^と等しくなります。
極座標プロットの描画規則
極座標プロットをプロットするには、次のルールに従います。
- 代替、開ループ伝達関数の$ s = j \ omega $。
- $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相の式を書きます。
- $ \ omega = 0 $を代入して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の開始振幅と位相を見つけます。 したがって、極座標プロットはこの大きさと位相角から始まります。
- $ \ omega = \ infty $を代入して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の終了振幅と位相を見つけます。 したがって、極座標プロットはこの大きさと位相角で終わります。
- $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の虚数項をゼロに設定して、極座標プロットが実軸と交差するかどうかを確認し、$ \ omega $の値を見つけます。
- $ G（j \ omega）H（j \ omega）$の実数項をゼロに等しくし、$ \ omega $の値を見つけることにより、極座標プロットが虚軸と交差するかどうかを確認します。
- 極座標プロットをより明確に描画するには、$ \ omega $の他の値を考慮して、$ G（j \ omega）H（j \ omega）$の大きさと位相を見つけます。
例
閉ループ制御システムの開ループ伝達関数を考えてください。
G（s）H（s）= \ frac \ {5} \ {s（s + 1）（s + 2）}
上記の規則を使用して、この制御システムの極座標プロットを描画しましょう。
- ステップ1 *-置換、開ループ伝達関数の$ s = j \ omega $。
G（j \ omega）H（j \ omega）= \ frac \ {5} \ {j \ omega（j \ omega + 1）（j \ omega + 2）}
開ループ伝達関数の大きさは
M = \ frac \ {5} \ {\ omega（\ sqrt \ {\ omega ^ 2 + 1}）（\ sqrt \ {\ omega ^ 2 + 4}）}
開ループ伝達関数の位相角は
\ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ \ {-1} \ omega- \ tan ^ \ {-1} \ frac \ {\ omega} \ {2}
- ステップ2 *-次の表は、$ \ omega = 0 $ rad/secおよび$ \ omega = \ infty $ rad/secにおける開ループ伝達関数の大きさと位相角を示しています。
| Frequency (rad/sec) | Magnitude | Phase angle(degrees) |
|---|---|---|
| 0 | ∞ | -90 or 270 |
| ∞ | 0 | -270 or 90 |
したがって、極座標プロットは（∞、−90 ^ 0 ^）で始まり、（0、−270 ^ 0 ^）で終わります。 括弧内の最初の項と2番目の項は、それぞれ振幅と位相角を示します。
- ステップ3 *-開始および終了極座標に基づいて、この極プロットは負の実軸と交差します。 負の実軸に対応する位相角は、-180 ^ 0 ^または180 ^ 0 ^です。 したがって、開ループ伝達関数の位相角を−180 ^ 0 ^または180 ^ 0 ^に等しくすることにより、$ \ omega $値を$ \ sqrt \ {2} $として取得します。
開ループ伝達関数の大きさに$ \ omega = \ sqrt \ {2} $を代入すると、$ M = 0.83 $になります。 したがって、極座標プロットは、$ \ omega = \ sqrt \ {2} $で、極座標が（0.83、−180 ^ 0 ^）の場合に負の実軸と交差します。
したがって、上記の情報を使用して極座標グラフシートに極座標プロットを描画できます。
