制御システム-ナイキスト線図

ナイキストプロットは、ωを-∞から∞に変化させて閉ループ制御システムの安定性を見つけるための極座標プロットの続きです。つまり、ナイキスト線図を使用して、開ループ伝達関数の完全な周波数応答を描画します。

ナイキスト安定性基準

ナイキスト安定性基準は、*引数の原理*で機能します。 P極があり、Zゼロが「s」平面の閉じたパスで囲まれている場合、対応する$ G（s）H（s）$平面は原点を$ P − Z $回囲む必要があります。したがって、包囲の数Nを次のように書くことができます。

N = P-Z

囲まれた「s」平面の閉じたパスに極のみが含まれる場合、$ G（s）H（s）$平面の円の方向は、「s」平面の囲まれた閉じたパスの方向と反対になります。
囲まれた「s」平面の閉じたパスにゼロのみが含まれる場合、$ G（s）H（s）$平面の包囲の方向は、「s」の囲まれた閉じたパスの方向と同じ方向になります。飛行機。

閉じたパスとして選択することにより、「s」平面の右半分全体に引数の原理を適用してみましょう。この選択されたパスは、*ナイキスト*輪郭と呼ばれます。

閉ループ伝達関数のすべての極が「s」平面の左半分にある場合、閉ループ制御システムが安定していることがわかります。したがって、閉ループ伝達関数の極は、特性方程式の根に他なりません。特性方程式の次数が増えると、根を見つけるのが難しくなります。そこで、これらの特性方程式の根を次のように相関させましょう。

「s」平面の右半分に開ループ極がない場合、開ループ制御システムは安定していることがわかります。

つまり、$ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

「s」平面の右半分に閉ループ極がない場合、閉ループ制御システムは安定していることがわかります。

すなわち、$ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

ナイキスト安定性基準*は、臨界点（1 + j0）に関する包囲の数が特性方程式の極に等しくなければならないことを示しています。これは「s」の右半分の開ループ伝達関数の極にすぎません。飛行機。原点の（1 + j0）へのシフトにより、特性方程式平面が得られます。

ナイキスト線図をプロットするには、次のルールに従います。

「s」平面で開ループ伝達関数$ G（s）H（s）$の極と零点を見つけます。
$ \ omega $をゼロから無限大まで変化させて極座標プロットを描画します。 s = 0に極または零点が存在する場合、極座標プロットを描画するために$ \ omega $を0+から無限大まで変化させます。
-∞からゼロ（s = 0に極またはゼロが存在する場合は0 ^-）の範囲の$ \ omega $の値について、上記の極座標プロットの鏡像を描きます。
無限半径の半円の数は、原点の極またはゼロの数に等しくなります。無限半径の半円は、極座標プロットの鏡像が終了する点から始まります。そして、この無限半径の半円は、極座標プロットが始まる点で終わります。

ナイキスト線図を描いた後、ナイキスト安定性基準を使用して閉ループ制御システムの安定性を見つけることができます。臨界点（-1 + j0）が包囲の外側にある場合、閉ループ制御システムは完全に安定しています。

ナイキスト線図から、これらのパラメーターの値に基づいて、制御システムが安定しているか、わずかに安定しているか、不安定であるかを特定できます。

ナイキスト線図が負の実軸と交差する周波数（位相角は180 ^ 0 ^）は、*位相クロスオーバー周波数*として知られています。 $ \ omega _ \ {pc} $で示されます。

ナイキスト線図の振幅が1になる周波数は、*ゲインクロスオーバー周波数*と呼ばれます。 $ \ omega _ \ {gc} $で示されます。

位相交差周波数とゲイン交差周波数の関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも大きい場合、制御システムは*安定*です。
位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $と等しい場合、制御システムは*わずかに安定しています*。
位相交差周波数$ \ omega _ \ {pc} $がゲイン交差周波数$ \ omega _ \ {gc} $よりも小さい場合、制御システムは*不安定*です。

ゲインマージン$ GM $は、位相交差周波数でのナイキスト線図の大きさの逆数に等しくなります。

GM = \ frac \ {1} \ {M _ \ {pc}}

ここで、$ M _ \ {pc} $は、位相交差周波数での通常のスケールの大きさです。

位相マージン$ PM $は、180 ^ 0 ^とゲインクロスオーバー周波数での位相角の合計に等しくなります。

PM = 180 ^ 0 + \ phi _ \ {gc}

ここで、$ \ phi _ \ {gc} $はゲインクロスオーバー周波数での位相角です。

ゲインマージンと位相マージンの関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。