Control-systems-modelling-mechanical
機械システムのモデリング
この章では、機械システムの*微分方程式モデリング*について説明します。 動きのタイプに基づいて、機械システムには2つのタイプがあります。
- 並進機械システム
- 回転機械システム
並進機械システムのモデリング
並進機械システムは、*直線*に沿って移動します。 これらのシステムは、主に3つの基本要素で構成されています。 それらは、質量、バネ、ダッシュポットまたはダンパーです。
並進機械システムに力が加えられると、システムの質量、弾性、摩擦による力に対抗します。 適用される力と反対の力は反対方向であるため、システムに作用する力の代数和はゼロです。 これら3つの要素が個別に反対する力を見てみましょう。
Mass
質量は、運動エネルギー*を保存する身体の特性です。 質量 *M の物体に力が加えられると、質量に起因する反対の力によって対抗されます。 この反対の力は、身体の加速度に比例します。 弾性と摩擦は無視できると仮定します。
F_m \ propto \：a
\ Rightarrow F_m = Ma = M \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2x} \ {\ text \ {d} t ^ 2}
F = F_m = M \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2x} \ {\ text \ {d} t ^ 2}
どこで、
- F は加えられた力です
- * F〜m〜*は質量による反対の力です
- M は質量
- a は加速です
- x は変位です
春
春は、潜在的なエネルギー*を蓄える要素です。 バネ *K に力が加えられた場合、バネの弾力性による反対の力によって力に抵抗します。 この反対の力は、バネの変位に比例します。 質量と摩擦は無視できると仮定します。
F \ propto \：x
\右矢印F_k = Kx
F = F_k = Kx
どこで、
- F は加えられた力です
- * F〜k〜*はバネの弾性による反対の力です
- K はバネ定数です
- x は変位です
ダッシュポット
ダッシュポット B に力が加えられた場合、ダッシュポットの*摩擦*に起因する反対の力によって反対されます。 この反対の力は、体の速度に比例します。 質量と弾性は無視できると仮定します。
F_b \ propto \：\ nu
\ Rightarrow F_b = B \ nu = B \ frac \ {\ text \ {d} x} \ {\ text \ {d} t}
F = F_b = B \ frac \ {\ text \ {d} x} \ {\ text \ {d} t}
どこで、
- * F〜b〜*はダッシュポットの摩擦による反対の力です
- B は摩擦係数です
- v は速度です
- x は変位です
回転機械システムのモデリング
回転機械システムは、固定軸を中心に動きます。 これらのシステムは、主に3つの基本要素で構成されています。 それらは、慣性モーメント、ねじりバネ、および*ダッシュポット*です。
回転機械システムにトルクが加えられると、システムの慣性モーメント、弾性、および摩擦に起因するトルクに対抗することになります。 加えられたトルクと反対のトルクは反対方向であるため、システムに作用するトルクの代数和はゼロです。 これら3つの要素が個別に対抗するトルクを見てみましょう。
慣性モーメント
並進機械システムでは、質量は運動エネルギーを蓄積します。 同様に、回転機械システムでは、慣性モーメントに*運動エネルギー*が保存されます。
慣性モーメント J をもつ物体にトルクが加えられると、慣性モーメントに起因する反対のトルクによって抵抗されます。 この反対トルクは、身体の角加速度に比例します。 弾性と摩擦は無視できると仮定します。
T_j \ propto \：\ alpha
\ Rightarrow T_j = J \ alpha = J \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ theta} \ {\ text \ {d} t ^ 2}
T = T_j = J \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2 \ theta} \ {\ text \ {d} t ^ 2}
どこで、
- T は加えられたトルクです
- * T〜j〜*は慣性モーメントによる反対トルクです
- J は慣性モーメント
- *α*は角加速度です
- *θ*は角変位です
ねじりばね
並進機械システムでは、バネはポテンシャルエネルギーを蓄積します。 同様に、回転機械システムでは、ねじりバネは*潜在的なエネルギー*を保存します。
ねじりばね K にトルクが加えられると、ねじりばねの弾力性により、反対のトルクで反対になります。 この反対のトルクは、ねじりバネの角変位に比例します。 慣性モーメントと摩擦は無視できると仮定します。
T_k \ propto \：\ theta
\右矢印T_k = K \ theta
T = T_k = K \ theta
どこで、
- T は加えられたトルクです
- * T〜k〜*は、ねじりバネの弾性による反対トルクです
- K はねじりバネ定数です
- *θ*は角変位です
ダッシュポット
ダッシュポット B にトルクが加えられると、ダッシュポットの*回転摩擦*に起因する反対のトルクによって反対されます。 この反対トルクは、体の角速度に比例します。 慣性モーメントと弾性は無視できると仮定します。
T_b \ propto \：\ omega
\ Rightarrow T_b = B \ omega = B \ frac \ {\ text \ {d} \ theta} \ {\ text \ {d} t}
T = T_b = B \ frac \ {\ text \ {d} \ theta} \ {\ text \ {d} t}
どこで、
- * T〜b〜*はダッシュポットの回転摩擦による反対トルクです
- B は回転摩擦係数です
- *ω*は角速度です
- *θ*は角変位です
