Control-systems-mathematical-models
制御システム-数学モデル
制御システムは、*数学モデル*として知られる数学方程式のセットで表すことができます。 これらのモデルは、制御システムの分析と設計に役立ちます。 制御システムの分析とは、入力と数学モデルがわかっているときに出力を見つけることです。 制御システムの設計とは、入力と出力がわかっているときに数学モデルを見つけることです。
次の数学モデルが主に使用されます。
- 微分方程式モデル
- 伝達関数モデル
- 状態空間モデル
この章の最初の2つのモデルについて説明しましょう。
微分方程式モデル
微分方程式モデルは、制御システムの時間領域の数学モデルです。 微分方程式モデルについては、次の手順に従います。
- 特定の制御システムに基本的な法則を適用します。
- 中間変数を削除して、入力と出力の微分方程式を取得します。
例
次の図に示すように、次の電気システムを検討してください。 この回路は、抵抗、インダクタ、コンデンサで構成されています。 これらの電気素子はすべて*シリーズ*で接続されています。 この回路に印加される入力電圧は$ v_i $で、コンデンサの両端の電圧は出力電圧$ v_o $です。
この回路のメッシュ方程式は
v_i = Ri + L \ frac \ {\ text \ {d} i} \ {\ text \ {d} t} + v_o
代わりに、上記の式でコンデンサ$ i = c \ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} $を通過する電流。
\ Rightarrow \：v_i = RC \ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + LC \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + v_o
\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）\ frac \ { \ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_i
上記の方程式は2次*微分方程式*です。
伝達関数モデル
伝達関数モデルは、制御システムのsドメイン数学モデルです。 線形時不変（LTI）システムの*伝達関数*は、すべての初期条件がゼロであると仮定して、出力のラプラス変換と入力のラプラス変換の比率として定義されます。
$ x（t）$と$ y（t）$がLTIシステムの入力と出力である場合、対応するラプラス変換は$ X（s）$と$ Y（s）$です。
したがって、LTIシステムの伝達関数は、$ Y（s）$と$ X（s）$の比率に等しくなります。
i.e。、\：Transfer \：Function = \ frac \ {Y（s）} \ {X（s）}
LTIシステムの伝達関数モデルを次の図に示します。
ここでは、内部に伝達関数を持つブロックを持つLTIシステムを表しています。 そして、このブロックには入力$ X（s）$と出力$ Y（s）$があります。
例
以前は、電気システムの微分方程式は
\ frac \ {\ text \ {d} ^ 2v_o} \ {\ text \ {d} t ^ 2} + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）\ frac \ {\ text \ {d} v_o} \ {\ text \ {d} t} + \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right ）v_i
両側にラプラス変換を適用します。
s ^ 2V_o（s）+ \ left（\ frac \ {sR} \ {L} \ right）V_o（s）+ \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_o（s） = \ left（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_i（s）
\ Rightarrow \ left \\ {s ^ 2 + \ left（\ frac \ {R} \ {L} \ right）s + \ frac \ {1} \ {LC} \ right \} V_o（s）= \左（\ frac \ {1} \ {LC} \ right）V_i（s）
\ Rightarrow \ frac \ {V_o（s）} \ {V_i（s）} = \ frac \ {\ frac \ {1} \ {LC}} \ {s ^ 2 + \ left（\ frac \ {R } \ {L} \ right）s + \ frac \ {1} \ {LC}}
どこで、
- $ v_i（s）$は、入力電圧$ v_i $のラプラス変換です。
- $ v_o（s）$は、出力電圧$ v_o $のラプラス変換です。
上記の式は、2次電気システムの*伝達関数*です。 このシステムの伝達関数モデルを以下に示します。
ここでは、内部に伝達関数を持つブロックを備えた2次電気システムを示します。 そして、このブロックには入力$ V_i（s）$と出力$ V_o（s）$があります。
