メイソンのゲイン公式

メイソンのゲイン公式について説明しましょう。シグナルフローグラフに「N」個のフォワードパスがあるとします。シグナルフローグラフの入力ノードと出力ノード間のゲインは、システムの*伝達関数*に他なりません。メイソンのゲイン公式を使用して計算できます。

メイソンのゲイン式は

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ Sigma ^ N _ \ {i = 1} P_i \ Delta _i} \ {\ Delta}

どこで、

* C（s）*は出力ノードです
* R（s）*は入力ノードです
T は、伝達関数または$ R（s）$と$ C（s）$間のゲインです。
* P〜i〜*はi ^ th ^のフォワードパスゲインです。

$ \ Delta = 1-（合計\：of \：すべて\：個別\：ループ\：ゲイン）$

$ +（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：2つの\：非接触\：ループ）$

-（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：3 \：非接触\：ループ）+ ...

_Δ〜i〜は、i ^ th ^フォワードパスに触れているループを削除することにより、Δから取得されます。

ここに含まれる基本的な用語を理解するために、以下のシグナルフローグラフを検討してください。

Mason Formula Basic

Path

これは、分岐矢印の方向にあるノードから他のノードへの分岐のトラバースです。ノードを複数回横断することはできません。

例-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $および$ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

フォワードパス

入力ノードから出力ノードへのパスは forward path と呼ばれます。

例-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $および$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $。

フォワードパスゲイン

これは、フォワードパスのすべてのブランチゲインの積を計算することによって取得されます。

例-$ abcde $は、$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $のフォワードパスゲインであり、abgeは$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5のフォワードパスゲインです。 \ rightarrow y_6 $。

Loop

1つのノードから始まり、同じノードで終わるパスは*ループ*と呼ばれます。したがって、それは閉じたパスです。

例-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $および$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $。

ループゲイン

これは、ループのすべての分岐ゲインの積を計算することにより取得されます。

例-$ b_j $は$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $のループゲインであり、$ g_h $は$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $のループゲインです。

非接触ループ

これらはループであり、共通ノードはありません。

例-ループ、$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $および$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $は非接触です。

メイソンのゲイン式を使用した伝達関数の計算

伝達関数を見つけるための同じ信号フローグラフを考えてみましょう。

Mason Formula Basic

フォワードパスの数、N = 2。
最初のフォワードパスは-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $です。
最初のフォワードパスゲイン、$ p_1 = abcde $。
2番目のフォワードパスは-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $です。
2番目のフォワードパスゲイン、$ p_2 = abge $。
個々のループの数、L = 5。
ループは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $、$ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $、$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $および$ y_5 \ rightarrow y_5 $。
ループゲインは-$ l_1 = bj $、$ l_2 = gh $、$ l_3 = cdh $、$ l_4 = di $、$ l_5 = f $です。
2つの非接触ループの数= 2。
最初の非接触ループのペアは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $です。
最初の非接触ループペアの積を得る、$ l_1l_4 = bjdi $
2番目の非接触ループのペアは-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $、$ y_5 \ rightarrow y_5 $です。
2番目の非接触ループペアのゲイン積は-$ l_1l_5 = bjf $です

このシグナルフローグラフには、より多くの（3つ以上の）非接触ループは存在しません。

知っている、

$ \ Delta = 1-（合計\：of \：すべて\：個別\：ループ\：ゲイン）$

$ +（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：2つの\：非接触\：ループ）$

-（合計\：of \：ゲイン\：製品\：of \：すべて\：可能\：3 \：非接触\：ループ）+ ...

上記の方程式の値を代入し、

$ \ Delta = 1-（bj + gh + cdh + di + f）+（bjdi + bjf）-（0）$

$ \ Rightarrow \ Delta = 1-（bj + gh + cdh + di + f）+ bjdi + bjf $

最初の順方向パスに触れないループはありません。

したがって、$ \ Delta_1 = 1 $です。

同様に、$ \ Delta_2 = 1 $。以来、2番目のフォワードパスに触れないループはありません。

代替、メイソンのゲイン式でN = 2

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ Sigma ^ 2 _ \ {i = 1} P_i \ Delta _i} \ {\ Delta}

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} \ {\ Delta}

上記の式で必要なすべての値を代入します。

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）1+（abge）1} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f） + bjdi + bjf}

\ Rightarrow T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）+（abge）} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f） + bjdi + bjf}

したがって、伝達関数は-

T = \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {（abcde）+（abge）} \ {1-（bj + gh + cdh + di + f）+ bjdi + bjf}

Control-systems-masons-gain-formula

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