Control-systems-frequency-response-analysis

周波数応答分析

制御システムの時間応答解析と2次制御システムの時間領域仕様についてはすでに説明しました。 この章では、制御システムの周波数応答解析と2次制御システムの周波数領域仕様について説明します。

周波数応答とは何ですか？

システムの応答は、過渡応答と定常状態応答の両方に分割できます。 フーリエ積分を使用して過渡応答を見つけることができます。 入力正弦波信号に対するシステムの定常応答は、*周波数応答*として知られています。 この章では、定常状態の応答のみに焦点を当てます。

正弦波信号が線形時不変（LTI）システムへの入力として適用される場合、それは正弦波信号でもある定常状態出力を生成します。 入力および出力正弦波信号は同じ周波数ですが、振幅と位相角が異なります。

入力信号を-

r（t）= A \ sin（\ omega_0t）

開ループ伝達関数は-

G（s）= G（j \ omega）

以下に示すように、振幅と位相の観点で$ G（j \ omega）$を表すことができます。

G（j \ omega）= | G（j \ omega）| \ angle G（j \ omega）

上記の式の$ \ omega = \ omega_0 $を代入します。

G（j \ omega_0）= | G（j \ omega_0）| \ angle G（j \ omega_0）

出力信号は

c（t）= A | G（j \ omega_0）| \ sin（\ omega_0t + \ angle G（j \ omega_0））

• 出力正弦波信号の*振幅*は、入力正弦波信号の振幅と$ \ omega = \ omega_0 $での$ G（j \ omega）$の大きさを乗算することによって得られます。
• 出力正弦波信号の*位相*は、入力正弦波信号の位相と$ G（j \ omega）$の位相を$ \ omega = \ omega_0 $で加算することにより得られます。

どこで、

• A は、入力正弦波信号の振幅です。
• *ω〜0〜*は、入力正弦波信号の角周波数です。

以下に示すように、角周波数$ \ omega_0 $を記述できます。

\ omega_0 = 2 \ pi f_0

ここで、$ f_0 $は入力正弦波信号の周波数です。 同様に、閉ループ制御システムについても同じ手順を実行できます。

周波数領域の仕様

周波数領域の仕様は、*共振ピーク、共振周波数、および帯域幅*です。

2次の閉ループ制御システムの伝達関数を次のように考えます。

$$ T（s）= \ frac \ {C（s）} \ {R（s）} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $ $

上記の式の$ s = j \ omega $を代入します。

T（j \ omega）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {（j \ omega）^ 2 + 2 \ delta \ omega_n（j \ omega）+ \ omega_n ^ 2}

\ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {-\ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac \ {\ omega_n ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2 \ left（1- \ frac \ {\ omega ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} + \ frac \ {2j \ delta \ omega} \ {\ omega_n} \ right）}

\ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac \ {1} \ {\ left（1- \ frac \ {\ omega ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} \ right）+ j \ left（\ frac \ {2 \ delta \ omega} \ {\ omega_n} \ right）}

たとえば、$ \ frac \ {\ omega} \ {\ omega_n} = u $この値を上記の式で置き換えます。

T（j \ omega）= \ frac \ {1} \ {（1-u ^ 2）+ j（2 \ delta u）}

$ T（j \ omega）$の大きさは-

M = | T（j \ omega）| = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2}}

$ T（j \ omega）$のフェーズは-

\ angle T（j \ omega）=-tan ^ \ {-1} \ left（\ frac \ {2 \ delta u} \ {1-u ^ 2} \ right）

共鳴周波数

これは、周波数応答の大きさが初めてピーク値を持つ周波数です。 $ \ omega_r $で示されます。 $ \ omega = \ omega_r $では、$ T（j \ omega）$の大きさの最初の導関数はゼロです。

$ u $に関して$ M $を微分します。

\ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（ 2 \ delta u）^ 2 \ right] ^ \ {\ frac \ {-3} \ {2}} \ left [2（1-u ^ 2）（-2u）+2（2 \ delta u）（2 \ delta）\ right]

\ Rightarrow \ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2 \ right] ^ \ {\ frac \ {-3} \ {2}} \ left [4u（u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right]

上記の式の$ u = u_r $と$ \ frac \ {\ text \ {d} M} \ {\ text \ {d} u} == 0 $を代入します。

0 =-\ frac \ {1} \ {2} \ left [（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2 \ right] ^ \ {-\ frac \ {3} \ { 2}} \ left [4u_r（u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right]

\右矢印4u_r（u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）= 0

\右矢印u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0

\ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2

\ Rightarrow u_r = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

上記の式の$ u_r = \ frac \ {\ omega_r} \ {\ omega_n} $に置き換えます。

\ frac \ {\ omega_r} \ {\ omega_n} = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

\ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}

共鳴ピーク

これは、$ T（j \ omega）$の大きさのピーク（最大）値です。 $ M_r $で示されます。

$ u = u_r $では、$ T（j \ omega）$の大きさは-

M_r = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2}}

上記の式の$ u_r = \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2} $および$ 1-u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $を代入します。

M_r = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（2 \ delta ^ 2）^ 2 +（2 \ delta \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2}）^ 2}}

\ Rightarrow M_r = \ frac \ {1} \ {2 \ delta \ sqrt \ {1- \ delta ^ 2}}

周波数応答の共振ピークは、特定の減衰比$ \ delta $の時間領域過渡応答のピークオーバーシュートに対応します。 そのため、共振ピークとピークオーバーシュートは互いに相関しています。

帯域幅

これは、$ T（j \ omega）$の大きさがゼロ周波数値から70.7％に低下する周波数の範囲です。

$ \ omega = 0 $では、$ u $の値はゼロになります。

置換、Mで$ u = 0 $

M = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-0 ^ 2）^ 2 +（2 \ delta（0））^ 2}} = 1

したがって、$ T（j \ omega）$の大きさは、$ \ omega = 0 $で1です。

3 dBの周波数では、$ T（j \ omega）$の大きさは、$ \ omega = 0 $での$ T（j \ omega）$の大きさの70.7％です。

つまり、$ \ omega = \ omega_B、M = 0.707（1）= \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {2}} $で

\ Rightarrow M = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {2}} = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_b） ^ 2}}

\ Rightarrow 2 =（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 u_b ^ 2

さあ、$ u_b ^ 2 = x $

\ Rightarrow 2 =（1-x）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 x

\右矢印x ^ 2 +（4 \ delta ^ 2-2）x-1 = 0

\ Rightarrow x = \ frac \ {-（4 \ delta ^ 2 -2）\ pm \ sqrt \ {（4 \ delta ^ 2-2）^ 2 + 4}} \ {2}

xの正の値のみを考慮してください。

x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2 \ delta ^ 2-1）^ 2 + 1}

\ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}

置換、$ x = u_b ^ 2 = \ frac \ {\ omega_b ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} $

\ frac \ {\ omega_b ^ 2} \ {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}

\右矢印\ omega_b = \ omega_n \ sqrt \ {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt \ {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}}

周波数応答の帯域幅$ \ omega_b $は、時間領域過渡応答の立ち上がり時間$ t_r $に反比例します。