Control-systems-construction-root-locus
根軌跡の構築
- 根軌跡*は、s領域のグラフィカルな表現であり、実軸に関して対称です。 これは、開ループの極と零点がs領域に存在し、その値が実数または複素共役のペアであるためです。 この章では、根軌跡を構築（描画）する方法について説明します。
根軌跡の構築のルール
根軌跡を構築するには、これらの規則に従います。
- ルール1 *-「s」平面で開ループの極と零点を見つけます。
- ルール2 *-根軌跡の枝の数を見つけます。
根軌跡の分岐は開ループの極で始まり、開ループのゼロで終わることがわかっています。 したがって、根軌跡分岐の数 N は、有限開ループ極の数 P または有限開ループゼロの数 Z のいずれか大きいほうに等しくなります。
数学的には、根軌跡枝の数 N を次のように書くことができます。
$ P \ geq Z $の場合、$ N = P $
$ P <Z $の場合、$ N = Z $
- ルール3 *-*実軸の根軌跡の枝*を特定して描画します。
ある点での開ループ伝達関数の角度が180 ^ 0 ^の奇数倍である場合、その点は根軌跡上にあります。 奇数の開ループの極と零点が実軸上の点の左側に存在する場合、その点は根軌跡分岐上にあります。 したがって、この条件を満たすポイントのブランチは、根軌跡ブランチの実軸です。
- ルール4 *-漸近線の重心と角度を見つけます。
- $ P = Z $の場合、すべての根軌跡分岐は有限の開ループ極で始まり、有限の開ループゼロで終わります。
- $ P> Z $の場合、$ Z $の根軌跡分岐の数は有限の開ループ極で始まり、有限の開ループ零点で終わり、$ P − Z $の根軌跡分岐の数は有限の開ループ極で始まり、無限で終わります開ループのゼロ。
- $ P <Z $の場合、P個の根軌跡分岐は有限開ループ極で始まり、有限開ループゼロで終わり、$ Z − P $数の根軌跡分岐は無限開ループ極で始まり、有限開ループで終わりますゼロ。
そのため、$ P \ neq Z $の場合、根軌跡分岐の一部は無限に近づきます。 漸近線は、これらの根軌跡枝の方向を示します。 実軸上の漸近線の交点は centroid として知られています。
この式を使用して*重心α*を計算できます。
$ \ alpha = \ frac \ {\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \：poles \：-\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \：ゼロ} \ {PZ} $
- 漸近線θ*の角度の式は
\ theta = \ frac \ {（2q + 1）180 ^ 0} \ {P-Z}
どこで、
q = 0,1,2、....、（P-Z）-1
- ルール5 *-根軌跡の枝と虚軸の交点を見つけます。
Routh配列法と特別な* case（ii）を使用して、根軌跡分岐が虚軸と交差するポイントとそのポイントでの *K の値を計算できます。
- Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロの場合、根軌跡分岐は虚軸と交差し、その逆も同様です。
- 最初の要素をゼロにすると、行全体の要素がゼロになるように行を識別します。 この組み合わせの K の値を見つけます。
- この K 値を補助方程式に代入します。 根軌跡の枝と虚軸の交点を取得します。
- ルール6 *-ブレイクアウェイポイントとブレイクインポイントを見つけます。
- 2つの開ループ極の間に実軸の根軌跡分岐が存在する場合、これらの2つの開ループ極の間に*ブレークアウェイポイント*があります。
- 2つのオープンループゼロの間に実軸の根軌跡分岐が存在する場合、これら2つのオープンループゼロの間に*ブレークインポイント*があります。
注-ブレイクアウェイおよびブレイクインポイントは、実際の軸の根軌跡分岐にのみ存在します。
次の手順に従って、ブレークアウェイポイントとブレークインポイントを見つけます。
- 特性方程式$ 1 + G（s）H（s）= 0 $から$ s $で$ K $を記述します。
- sに関して$ K $を微分し、ゼロに等しくします。 上記の式で$ s $のこれらの値を代入します。
- $ K $値が正の$ s $の値は、*ブレークポイント*です。
- ルール7 *-出発角度と到着角度を見つけます。
出発角と到着角は、それぞれ複素共役開ループの極と複素共役開ループのゼロで計算できます。
出発角 $ \ phi_d $の式は
\ phi_d = 180 ^ 0- \ phi
到着角 $ \ phi_a $の式は
\ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi
どこで、
\ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z
例
ここで、開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= \ frac \ {K} \ {s（s + 1）（s + 5）} $を持つ制御システムの根軌跡を描きましょう。
- ステップ1 *-指定された開ループ伝達関数には、$ s = 0、s = -1 $、および$ s = -5 $に3つの極があります。 ゼロはありません。 したがって、根軌跡分岐の数は、開ループ伝達関数の極の数に等しくなります。
N = P = 3
3つの極は、上の図に示されています。 $ s = -1 $と$ s = 0 $の間の線分は、実軸上の根軌跡の1つの分岐です。 また、実軸上の根軌跡の他の分岐は、$ s = -5 $の左側の線分です。
- ステップ2 *-指定された式を使用して、重心の値と漸近線の角度を取得します。
重心$ \ alpha = −2 $
漸近線の角度は$ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $および$ 300 ^ 0 $です。
次の図に、重心と3つの漸近線を示します。
- ステップ3 *-2つの漸近線の角度は$ 60 ^ 0 $と$ 300 ^ 0 $であるため、2つの根軌跡の枝は虚軸と交差します。 Routh配列法と特殊なケース（ii）を使用することにより、根軌跡の枝は$ j \ sqrt \ {5} $および$ -j \ sqrt \ {5} $で虚軸と交差します。
極$ s = -1 $と$ s = 0 $の間の実軸の根軌跡分岐上に1つのブレークアウェイポイントがあります。 ブレイクアウェイポイントの計算に指定された手順に従うことにより、$ s = −0.473 $として取得されます。
特定の制御システムの根軌跡図を次の図に示します。
このようにして、任意の制御システムの根軌跡図を描画し、閉ループ伝達関数の極の動きを観察できます。
根軌跡図から、さまざまなタイプの減衰のK値の範囲を知ることができます。
開ループの極とゼロを追加することの根軌跡への影響
開ループの極と開ループのゼロを追加することにより、根の軌跡を* 's’面*に移動できます
- 開ループ伝達関数に極を含めると、根軌跡分岐の一部が「s」平面の右半分に向かって移動します。 このため、減衰比$ \ delta $は減少します。 つまり、減衰周波数$ \ omega_d $が増加し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域の仕様が減少します。 しかし、それはシステムの安定性に影響します。
- 開ループ伝達関数にゼロを含めると、根軌跡分岐の一部が「s」平面の左半分に向かって移動します。 そのため、制御システムの安定性が向上します。 この場合、減衰比$ \ delta $が増加します。 これは、減衰周波数$ \ omega_d $が減少し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域仕様が増加することを意味します。
したがって、要件に基づいて、開ループの極またはゼロを伝達関数に含める（追加する）ことができます。
