Control-systems-bode-plots
制御システム-ボード線図
ボード線図またはボード線図は、2つのプロットで構成されます-
- 大きさプロット
- 位相プロット
両方のプロットで、x軸は角周波数（対数目盛）を表します。 一方、yaxisは、振幅プロットの開ループ伝達関数の振幅（線形スケール）と位相プロットの開ループ伝達関数の位相角（線形スケール）を表します。
dB単位の開ループ伝達関数の*大きさ*は-
M = 20 \：\ log | G（j \ omega）H（j \ omega）|
度単位の開ループ伝達関数の*位相角*は-
\ phi = \ angle G（j \ omega）H（j \ omega）
注-対数の底は10です。
ボード線図の基本
次の表は、開ループ伝達関数に存在する項の勾配、大きさ、位相角の値を示しています。 このデータは、ボード線図を描くときに役立ちます。
| Type of term | G(jω)H(jω) | Slope(dB/dec) | Magnitude (dB) | Phase angle(degrees) |
|---|---|---|---|---|
| Constant | $K$ | $0$ | $20 \log K$ | $0$ |
| Zero at origin | $j\omega$ | $20$ | $20 \log \omega$ | $90$ |
| ‘n’ zeros at origin | $(j\omega)^n$ | $20\: n$ | $20\: n \log \omega$ | $90\: n$ |
| Pole at origin | $\frac{1}\{j\omega}$ | $-20$ | $-20 \log \omega$ | $-90 \: or \: 270$ |
| ‘n’ poles at origin | $\frac{1}\{(j\omega)^n}$ | $-20\: n$ | $-20 \: n \log \omega$ | $-90 \: n \: or \: 270 \: n$ |
| Simple zero | $1+j\omega r$ | $20$ |
$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $ 20 \：\ log \ omega r \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ a |
$ 0 \：for \：\ omega <\ frac \ {1} \ {r} $ $ 90 \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ |
| Simple pole | $\frac{1}\{1+j\omega r}$ | $-20$ |
$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $ -20 \：\ log \ omega r \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ a |
$ 0 \：for \：\ omega <\ frac \ {1} \ {r} $ $ -90 \：または\：270 \：for \：\ omega> \ frac \ {1} \ {r} $ |
| Second order derivative term | $\omega_n^2\left ( 1-\frac\{\omega2}\{\omega_n2}+\frac\{2j\delta\omega}\{\omega_n} \right )$ | $40$ |
$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $ 20 \：\ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2）\：\：\ omega = \ omega_n $の場合 $ 40 \：\ log \：\ omega \：for \：\ omega> \ omega_n $ a |
$ 0 \：for \：\ omega <\ omega_n $ 90ドル\：for \：\ omega = \ omega_n $ $ 180 \：for \：\ omega> \ omega_n $ |
| Second order integral term | $\frac{1}\{\omega_n^2\left ( 1-\frac\{\omega2}\{\omega_n2}+\frac\{2j\delta\omega}\{\omega_n} \right )}$ | $-40$ |
$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $ -20 \：\ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2）\：for \：\ omega = \ omega_n $ $ -40 \：\ log \：\ omega \：for \：\ omega> \ omega_n $ a |
$ -0 \：for \：\ omega <\ omega_n $ $ -90 \：for \：\ omega = \ omega_n $ $ -180 \：for \：\ omega> \ omega_n $ |
開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= K $を考えます。
大きさ$ M = 20 \：\ log K $ dB
位相角$ \ phi = 0 $度
$ K = 1 $の場合、振幅は0 dBです。
$ K> 1 $の場合、大きさは正になります。
$ K <1 $の場合、大きさは負になります。
次の図は、対応するボード線図を示しています。
振幅プロットは、周波数に依存しない水平線です。 Kの値が1の場合、0 dBライン自体が振幅プロットです。 Kの正の値の場合、水平線は$ 20 \：\ log K $ dBを0 dB線より上にシフトします。 Kが負の値の場合、水平線は$ 20 \：\ log K $ dBを0 dB線より下にシフトします。 ゼロ度の線自体は、Kのすべての正の値の位相プロットです。
開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= s $を考えます。
大きさ$ M = 20 \ log \ omega $ dB
位相角$ \ phi = 90 ^ 0 $
$ \ omega = 0.1 $ rad/secでは、振幅は-20 dBです。
$ \ omega = 1 $ rad/secでは、振幅は0 dBです。
$ \ omega = 10 $ rad/secでは、振幅は20 dBです。
次の図は、対応するボード線図を示しています。
振幅プロットは直線であり、20 dB/decの勾配を持っています。 この線は、$ \ omega = 0.1 $ラジアン/秒から始まり、-20 dBの大きさで、同じ勾配で続きます。 $ \ omega = 1 $ラジアン/秒で0 dBラインに接触しています。 この場合、位相プロットは90 ^ 0 ^ラインです。
開ループ伝達関数$ G（s）H（s）= 1 + s \ tau $を考えます。
大きさ$ M = 20 \：log \ sqrt \ {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB
位相角$ \ phi = \ tan ^ \ {-1} \ omega \ tau $度
$ω<\ frac \ {1} \ {\ tau} $の場合、振幅は0 dB、位相角は0度です。
$ \ omega> \ frac \ {1} \ {\ tau} $の場合、振幅は$ 20 \：\ log \ omega \ tau $ dB、位相角は90 ^ 0 ^です。
次の図は、対応するボード線図を示しています。
振幅プロットは、$ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ rad/secまで0 dBの振幅を持ちます。 $ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ラジアン/秒から、20 dB/decの勾配があります。 この場合、位相プロットは$ \ omega = \ frac \ {1} \ {\ tau} $ラジアン/秒まで0度の位相角を持ち、ここからは90 ^ 0 ^の位相角を持ちます。 このボード線図は、*漸近ボード線図*と呼ばれます。
振幅と位相のプロットは直線で表されるため、正確なボード線図は漸近ボード線図に似ています。 唯一の違いは、正確なボード線図には直線ではなく単純な曲線があることです。
同様に、表に示されている開ループ伝達関数の他の項のボード線図を描くことができます。
