Control-systems-block-diagram-algebra
制御システム-ブロック図代数
ブロック図代数は、ブロック図の基本要素に関係する代数に他なりません。 この代数は、代数方程式の図的表現を扱います。
ブロックの基本的な接続
2つのブロック間の接続には、3つの基本的なタイプがあります。
直列接続
直列接続は、*カスケード接続*とも呼ばれます。 次の図では、伝達関数$ G_1（s）$および$ G_2（s）$を持つ2つのブロックが直列に接続されています。
この組み合わせでは、出力$ Y（s）$を次のように取得します
Y（s）= G_2（s）Z（s）
ここで、$ Z（s）= G_1（s）X（s）$
\ Rightarrow Y（s）= G_2（s）[G_1（s）X（s）] = G_1（s）G_2（s）X（s）
\右矢印Y（s）= \ lbrace G_1（s）G_2（s）\ rbrace X（s）
この式を出力式の標準形式である$ Y（s）= G（s）X（s）$と比較します。 ここで、$ G（s）= G_1（s）G_2（s）$。
つまり、2つのブロックの series connection を1つのブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これら2つのブロックの*伝達関数*の積です。 同等のブロック図を以下に示します。
同様に、「n」個のブロックの直列接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これらすべての「n」ブロックの伝達関数の積です。
並列接続
*parallel* で接続されているブロックには*同じ入力*があります。 次の図では、伝達関数$ G_1（s）$および$ G_2（s）$を持つ2つのブロックが並列に接続されています。 これら2つのブロックの出力は、加算点に接続されます。この組み合わせでは、出力$ Y（s）$を次のように取得します
Y（s）= Y_1（s）+ Y_2（s）
ここで、$ Y_1（s）= G_1（s）X（s）$および$ Y_2（s）= G_2（s）X（s）$
\ Rightarrow Y（s）= G_1（s）X（s）+ G_2（s）X（s）= \ lbrace G_1（s）+ G_2（s）\ rbrace X（s）
この式を出力式の標準形式である$ Y（s）= G（s）X（s）$と比較します。
ここで、$ G（s）= G_1（s）+ G_2（s）$。
つまり、1つのブロックで2つのブロックの*並列接続*を表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これら2つのブロックの*伝達関数の合計*です。 同等のブロック図を以下に示します。
同様に、「n」個のブロックの並列接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、これらすべての「n」ブロックの伝達関数の代数和です。
フィードバック接続
前の章で説明したように、*フィードバック*には2つのタイプがあります。ポジティブフィードバックとネガティブフィードバックです。 次の図は、負帰還制御システムを示しています。 ここで、伝達関数$ G（s）$および$ H（s）$を持つ2つのブロックが閉ループを形成します。
加算ポイントの出力は-
E（s）= X（s）-H（s）Y（s）
出力$ Y（s）$は-
Y（s）= E（s）G（s）
上記の式で$ E（s）$値を代入します。
Y（s）= \ left \\ {X（s）-H（s）Y（s）\ rbrace G（s）\ right \}
Y（s）\ left \\ {1 + G（s）H（s）\ rbrace = X（s）G（s）\ right \}
\ Rightarrow \ frac \ {Y（s）} \ {X（s）} = \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）}
したがって、負帰還の閉ループ伝達関数は$ \ frac \ {G（s）} \ {1 + G（s）H（s）} $です。
つまり、2つのブロックの負帰還接続を1つのブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、負帰還の閉ループ伝達関数です。 同等のブロック図を以下に示します。
同様に、2つのブロックの正帰還接続を単一のブロックで表すことができます。 この単一ブロックの伝達関数は、正のフィードバックの閉ループ伝達関数、つまり$ \ frac \ {G（s）} \ {1-G（s）H（s）} $です。
加算点のブロック図代数
ブロックに関して加算点をシフトする2つの可能性があります-
- ブロックの後の加算ポイントのシフト *ブロックの前の加算ポイントのシフト
次に、上記の2つのケースでどのような調整を行う必要があるかを1つずつ見ていきましょう。
ブロックの後の加算点のシフト
次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、ブロックの前に加算ポイントが存在します。
加算ポイントには、2つの入力$ R（s）$および$ X（s）$があります。 出力は$ \ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \} $です。
したがって、ブロック$ G（s）$への入力は$ \ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \} $であり、その出力は–
Y（s）= G（s）\ left \\ {R（s）+ X（s）\ right \}
$ \ Rightarrow Y（s）= G（s）R（s）+ G（s）X（s）$* （式1） *
次に、ブロックの後に加算ポイントをシフトします。 このブロック図を次の図に示します。
ブロック$ G（s）$の出力は$ G（s）R（s）$です。
加算点の出力は
$ Y（s）= G（s）R（s）+ X（s）$* （式2） *
式1と式2を比較します。
最初の項$ ’G（s）R（s）’ $は両方の式で同じです。 しかし、第2項には違いがあります。 2番目の項も同じようにするには、もう1つのブロック$ G（s）$が必要です。 入力$ X（s）$があり、このブロックの出力は$ X（s）$ではなく加算ポイントへの入力として与えられます。 このブロック図を次の図に示します。
ブロックの前の加算ポイントのシフト
次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、加算ポイントはブロックの後にあります。
このブロック図の出力は-
$ Y（s）= G（s）R（s）+ X（s）$* （式3） *
次に、ブロックの前に加算ポイントを移動します。 このブロック図を次の図に示します。
このブロック図の出力は-
$ Y（S）= G（s）R（s）+ G（s）X（s）$* （式4）*
式3と式4を比較してください
最初の項$ ’G（s）R（s）’ $は両方の式で同じです。 しかし、第2項には違いがあります。 2番目の用語も同じようにするには、もう1つのブロック$ \ frac \ {1} \ {G（s）} $が必要です。 入力$ X（s）$があり、このブロックの出力は$ X（s）$ではなく加算ポイントへの入力として与えられます。 このブロック図を次の図に示します。
離陸地点のブロック図代数
ブロックに関して離陸点をシフトする2つの可能性があります-
- ブロックの後の離陸点の移動
- ブロックの前に離陸点を移動
上記の2つのケースで、どのような調整を行うかを1つずつ見ていきましょう。
ブロック後の離陸地点の移動
次の図に示すブロック図を検討してください。 この場合、離陸地点はブロックの前にあります。
ここで、$ X（s）= R（s）$および$ Y（s）= G（s）R（s）$
ブロックの後に離陸ポイントをシフトすると、出力$ Y（s）$は同じになります。 ただし、$ X（s）$値には違いがあります。 したがって、同じ$ X（s）$値を取得するには、もう1つのブロック$ \ frac \ {1} \ {G（s）} $が必要です。 入力は$ Y（s）$で、出力は$ X（s）$です。 このブロック図を次の図に示します。
ブロックの前の離陸地点の移動
次の図に示すブロック図を検討してください。 ここでは、ブロックの後に離陸ポイントがあります。
ここで、$ X（s）= Y（s）= G（s）R（s）$
ブロックの前に離陸点をシフトすると、出力$ Y（s）$は同じになります。 ただし、$ X（s）$値には違いがあります。 したがって、同じ$ X（s）$値を取得するには、もう1つのブロック$ G（s）$が必要です。 入力は$ R（s）$で、出力は$ X（s）$です。 このブロック図を次の図に示します。
