Computer-graphics-3d-transformation
3D変換
回転
3D回転は2D回転と同じではありません。 3D回転では、回転軸とともに回転角度を指定する必要があります。 X、Y、Z軸を中心に3D回転を実行できます。 それらは以下のような行列形式で表されます-
R _ \ {x}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆cos \ theta＆−sin \ theta＆0 \\ 0＆sin \ theta＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆ 1 \\ \ end \ {bmatrix} R _ \ {y}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} cos \ theta＆0＆sin \ theta＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ -sin \ theta＆0＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \\ \ end \ {bmatrix} R _ \ {z}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} cos \ theta＆-sin \ theta＆0＆0 \\ sin \ theta＆cos \ theta ＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix}
次の図は、さまざまな軸の周りの回転を説明します-
スケーリング
スケーリング変換を使用して、オブジェクトのサイズを変更できます。 スケーリングプロセスでは、オブジェクトのサイズを拡大または縮小します。 スケーリングは、目的の結果を得るために、オブジェクトの元の座標にスケーリング係数を掛けることで実現できます。 次の図は、3Dスケーリングの効果を示しています-
3Dスケーリング操作では、3つの座標が使用されます。 元の座標が（X、Y、Z）であり、スケーリング係数がそれぞれ$（S _ \ {X、} S _ \ {Y、} S _ \ {z}）$であり、生成された座標が（X ' 、Y '、Z'）。 これは以下に示すように数学的に表すことができます-
$ S = \ begin \ {bmatrix} S _ \ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S _ \ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S _ \ {z}＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end \ { bmatrix} $
P ’= P∙S
$ [\ {X} '\：\：\：\ {Y}' \：\：\：\ {Z} '\：\：\：1] = [X \：\：\：Y \：\ ：\：Z \：\：\：1] \：\：\ begin \ {bmatrix} S _ \ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S _ \ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S _ \ {z }＆0 \\ 0＆0＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix} $
$ = [X.S _ \ {x} \：\：\：Y.S _ \ {y} \：\：\：Z.S _ \ {z} \：\：\：1] $
剪断
オブジェクトの形状を傾斜させる変換は、*せん断変換*と呼ばれます。 2Dせん断のように、3DでX軸、Y軸、またはZ軸に沿ってオブジェクトをせん断できます。
上図に示すように、座標Pがあります。 あなたはそれをせん断して新しい座標P 'を得ることができます。これは以下のように3Dマトリックス形式で表すことができます-
$ Sh = \ begin \ {bmatrix} 1＆sh _ \ {x} ^ \ {y}＆sh _ \ {x} ^ \ {z}＆0 \\ sh _ \ {y} ^ \ {x}＆1＆sh_ \ {y} ^ \ {z}＆0 \\ sh _ \ {z} ^ \ {x}＆sh _ \ {z} ^ \ {y}＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix} $
P ’= P∙Sh
$ X ’= X + Sh _ \ {x} ^ \ {y} Y + Sh _ \ {x} ^ \ {z} Z $
$ Y '= Sh _ \ {y} ^ \ {x} X + Y + sh _ \ {y} ^ \ {z} Z $
$ Z '= Sh _ \ {z} ^ \ {x} X + Sh _ \ {z} ^ \ {y} Y + Z $
変換行列
変換マトリックスは、変換のための基本的なツールです。 n x m次元の行列にオブジェクトの座標が乗算されます。 通常、変換には3 x 3または4 x 4のマトリックスが使用されます。 たとえば、さまざまな操作について次のマトリックスを考えます。
$ T = \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ t _ \ {x}＆t _ \ {y}＆t _ \ {z}＆1 \\ \ end \ {bmatrix} $
$ S = \ begin \ {bmatrix} S _ \ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S _ \ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S _ \ {z}＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end \ { bmatrix} $
$ Sh = \ begin \ {bmatrix} 1＆sh _ \ {x} ^ \ {y}＆sh _ \ {x} ^ \ {z}＆0 \\ sh _ \ {y} ^ \ {x}＆1＆sh_ \ {y} ^ \ {z}＆0 \\ sh _ \ {z} ^ \ {x}＆sh _ \ {z} ^ \ {y}＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix} $
翻訳マトリックス
スケーリングマトリックス
せん断マトリックス
$ R _ \ {x}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆cos \ theta＆-sin \ theta＆0 \\ 0＆sin \ theta＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \\ \ end \ {bmatrix} $
$ R _ \ {y}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} cos \ theta＆0＆sin \ theta＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ -sin \ theta＆0＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \\ \ end \ {bmatrix} $
$ R _ \ {z}（\ theta）= \ begin \ {bmatrix} cos \ theta＆-sin \ theta＆0＆0 \\ sin \ theta＆cos \ theta＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ 0＆0＆ 0＆1 \ end \ {bmatrix} $
回転マトリックス
