ホップフィールドネットワークを使用した最適化

最適化は、設計、状況、リソース、システムなどを可能な限り効果的にするアクションです。コスト関数とエネルギー関数の類似性を使用して、高度に相互接続されたニューロンを使用して最適化問題を解決できます。このような種類のニューラルネットワークはホップフィールドネットワークであり、1つ以上の完全に接続された回帰ニューロンを含む単一層で構成されています。これは最適化に使用できます。

最適化のためにホップフィールドネットワークを使用する際の注意点-

エネルギー関数はネットワークの最小値でなければなりません。
保存されたパターンから1つを選択するのではなく、満足のいく解決策を見つけます。
ホップフィールドネットワークによって検出されるソリューションの品質は、ネットワークの初期状態に大きく依存します。

巡回セールスマン問題

セールスマンが移動した最短ルートを見つけることは、Hopfieldニューラルネットワークを使用して最適化できる計算上の問題の1つです。

TSPの基本概念

巡回セールスマン問題（TSP）は古典的な最適化問題で、セールスマンは互いに接続された n 都市を移動しなければならず、コストと移動距離を最小に保ちます。たとえば、セールスマンは4つの都市A、B、C、Dのセットを旅行する必要があり、目的は最短の巡回ツアーABC–Dを見つけることです。これにより、最後の都市Dから最初の都市Aへ

旅行セールスマンの問題

行列表現

実際、n-city TSPの各ツアーは、* i〜th〜行が i〜th〜都市の場所を記述する *n＆times n マトリックスとして表現できます。 4つの都市A、B、C、Dのこの行列、 M は、次のように表すことができます-

M = \ begin \ {bmatrix} A：＆1＆0＆0＆0 \\ B：＆0＆1＆0＆0 \\ C：＆0＆0＆1＆0 \\ D：＆0 ＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix}

ホップフィールドネットワークによるソリューション

ホップフィールドネットワークによるこのTSPのソリューションを検討する際、ネットワーク内のすべてのノードは、マトリックス内の1つの要素に対応します。

エネルギー関数の計算

最適化されたソリューションであるためには、エネルギー関数が最小でなければなりません。次の制約に基づいて、次のようにエネルギー関数を計算できます-

制約-I

エネルギー関数の計算の基礎となる最初の制約は、行列 M の各行で1つの要素が1に等しくなければならず、各行で他の要素が 0 に等しくなければならないことです。 TSPツアーの1つのポジション。この制約は数学的に次のように書くことができます-

\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {j = 1} ^ n M _ \ {x、j} \：= \：1 \：for \：x \：\ in \：\ lbrace1、...、n \ rbrace

今、上記の制約に基づいて、最小化されるエネルギー関数は、に比例する項が含まれます-

\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x = 1} ^ n \ left（\ begin \ {array} \ {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {j = 1} ^ n M_ \ {x、j} \ end \ {array} \ right）^ 2

制約II

私たちが知っているように、TSPでは1つの都市がツアーの任意の位置で発生する可能性があるため、マトリックス M の各列では、1つの要素が1に等しく、他の要素が0に等しくなければなりませんこの制約は数学的に次のように書くことができます-

\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x = 1} ^ n M _ \ {x、j} \：= \：1 \：for \：j \：\ in \：\ lbrace1、...、n \ rbrace

今、上記の制約に基づいて、最小化されるエネルギー関数は、に比例する項が含まれます-

\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {j = 1} ^ n \ left（\ begin \ {array} \ {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x = 1} ^ n M_ \ {x、j} \ end \ {array} \ right）^ 2

コスト関数の計算

*C* で表される（ *n×n* ）の正方行列が、 *n* 都市（ *n> 0* ）のTSPのコスト行列を表すとします。 以下は、コスト関数を計算する際のいくつかのパラメータです-

* C〜x、y〜-コストマトリックスの要素は、都市 *x から y への移動コストを示します。
AとBの要素の隣接関係は、次の関係によって示すことができます-

M _ \ {x、i} \：= \：1 \：\：and \：\：M _ \ {y、i \ pm 1} \：= \：1

私たちが知っているように、マトリックスでは、各ノードの出力値は0または1のいずれかです。したがって、都市A、Bのすべてのペアについて、エネルギー関数に次の項を追加できます-

\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ n C _ \ {x、y} M _ \ {x、i}（M _ \ {y、i + 1} \：+ \：M _ \ {y、 i-1}）

上記のコスト関数と制約値に基づいて、最終エネルギー関数 E は次のように与えることができます-

E \：= \：\ frac \ {1} \ {2} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i = 1} ^ n \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ { y \ neq x} C _ \ {x、y} M _ \ {x、i}（M _ \ {y、i + 1} \：+ \：M _ \ {y、i-1}）\：+

\：\ begin \ {bmatrix} \ gamma _ \ {1} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x} \ left（\ begin \ {array} \ {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i} M _ \ {x、i} \ end \ {array} \ right）^ 2 \：+ \：\ gamma _ \ {2} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {i} \ left（\ begin \ {array} \ {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {x} M _ \ {x、i} \ end \ {array} \ right）^ 2 \ end \ {bmatrix}

ここで、*γ〜1〜*および*γ〜2〜*は2つの計量定数です。

Artificial-neural-network-optimization-using-hopfield

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