Analog-communication-amplitude-modulation
振幅変調
連続波は、間隔を空けずに継続的に継続し、情報を含むベースバンドメッセージ信号です。 この波は変調する必要があります。
標準的な定義によれば、「キャリア信号の振幅は、変調信号の瞬間的な振幅に従って変化します。」つまり、情報を含まないキャリア信号の振幅は、情報を含む信号の振幅に従って変化します。各瞬間。 これは、次の図で説明できます。
最初の図は、メッセージ信号である変調波を示しています。 次は搬送波です。これは高周波信号であり、情報が含まれていません。 一方、最後のものは、結果として生じる変調波です。
搬送波の正と負のピークが想像線で相互接続されていることが観察できます。 この行は、変調信号の正確な形状を再現するのに役立ちます。 搬送波上のこの想像上の線は、*エンベロープ*と呼ばれます。 メッセージ信号と同じです。
数式
これらの波の数式は次のとおりです。
波の時間領域表現
変調信号を
m \ left（t \ right）= A_m \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）
キャリア信号は
c \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）
どこで、
$ A_m $と$ A_c $は、それぞれ変調信号と搬送波信号の振幅です。
$ f_m $と$ f_c $は、それぞれ変調信号と搬送波信号の周波数です。
そうすると、振幅変調波の方程式は次のようになります。
$ s（t）= \ left [A_c + A_m \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$（式1）
変調指数
変調されたレベルが計算される場合、変調後の搬送波は、*変調指数*または*変調深度*と呼ばれます。 搬送波が受ける変調のレベルを示します。
式1を次のように並べ替えます。
$ s（t）= A_c \ left [1+ \ left（\ frac \ {A_m} \ {A_c} \ right）\ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$
$ \ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left（2 \ pi f_m t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$（式2）
ここで、$ \ mu $は変調指数であり、$ A_m $と$ A_c $の比率に等しくなります。 数学的には、次のように書くことができます
$ \ mu = \ frac \ {A_m} \ {A_c} $（式3）
したがって、メッセージとキャリア信号の振幅がわかっている場合、上記の式を使用して変調指数の値を計算できます。
次に、式1を考慮して、変調指数のもう1つの式を導き出します。 変調波の最大振幅と最小振幅がわかっている場合、この式を使用して変調指数値を計算できます。
$ A_ \ max $および$ A_ \ min $を変調波の最大および最小振幅とします。
$ \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）$が1の場合、変調波の最大振幅を取得します。
$ \ Rightarrow A_ \ max = A_c + A_m $（式4）
$ \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）$が-1の場合、変調波の最小振幅を取得します。
$ \ Rightarrow A_ \ min = A_c-A_m $（式5）
式4と式5を追加します。
A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c
$ \ Rightarrow A_c = \ frac \ {A_ \ max + A_ \ min} \ {2} $（式6）
式4から式5を引きます。
A_ \ max-A_ \ min = A_c + A_m-\ left（A_c -A_m \ right）= 2A_m
$ \ Rightarrow A_m = \ frac \ {A_ \ max-A_ \ min} \ {2} $（式7）
式7と式6の比は次のようになります。
\ frac \ {A_m} \ {A_c} = \ frac \ {\ left（A _ \ {max}-A _ \ {min} \ right）/2} \ {\ left（A _ \ {max} + A_ \ {min} \ right）/2}
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac \ {A_ \ max-A_ \ min} \ {A_ \ max + A_ \ min} $（式8）
したがって、式3と式8は、変調指数の2つの式です。 変調指数または変調度は、多くの場合、変調のパーセンテージと呼ばれるパーセンテージで示されます。 変調指数値に100を掛けることで、*変調率*を取得します。
完全な変調の場合、変調指数の値は1である必要があり、これは変調の割合が100％であることを意味します。
たとえば、この値が1より小さい場合、つまり変調指数が0.5の場合、変調出力は次の図のようになります。 Under-modulation と呼ばれます。 このような波は「変調不足波」と呼ばれます。
変調指数の値が1より大きい場合、つまり1.5程度の場合、波は*過変調波*になります。 次の図のようになります。
変調指数の値が増加すると、キャリアは180 ^ o ^の位相反転を経験します。これにより、追加の側波帯が発生するため、波が歪みます。 このような過変調された波は干渉を引き起こしますが、これは除去できません。
AM波の帯域幅
帯域幅（BW）は、信号の最高周波数と最低周波数の差です。 数学的には、次のように書くことができます
BW = f _ \ {max}-f _ \ {min}
次の振幅変調波の方程式を考えます。
s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left（2 \ pi f_m t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）
\ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ A_c \ mu \ cos（2 \ pi f_ct）\ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）
$ \ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac \ {A_c \ mu} \ {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c + f_m \ right）t \ right] + \ frac \ {A_c \ mu} \ {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c-f_m \ right）t \ right] $
したがって、振幅変調波には3つの周波数があります。 それらは、キャリア周波数$ f_c $、上側波帯周波数$ f_c + f_m $、下側波帯周波数$ f_c-f_m $です。
ここに、
$ f _ \ {max} = f_c + f_m $および$ f _ \ {min} = f_c-f_m $
帯域幅の式の$ f _ \ {max} $および$ f _ \ {min} $の値を代入します。
BW = f_c + f_m- \ left（f_c-f_m \ right）
\ Rightarrow BW = 2f_m
したがって、振幅変調波に必要な帯域幅は、変調信号の周波数の2倍であると言えます。
AM波の電力計算
次の振幅変調波の方程式を考えます。
$ \ s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac \ {A_c \ mu} \ {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c + f_m \ right）t \ right] + \ frac \ {A_c \ mu} \ {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c-f_m \ right）t \ right] $
AM波のパワーは、搬送波、上側波帯、下側波帯の周波数成分のパワーの合計に等しくなります。
P_t = P_c + P _ \ {USB} + P _ \ {LSB}
cos信号のパワーの標準式は
P = \ frac \ {\ {v _ \ {rms}} ^ \ {2}} \ {R} = \ frac \ {\ left（v_m/\ sqrt \ {2} \ right）^ 2} \ { 2}
どこで、
$ v _ \ {rms} $はcos信号のrms値です。
$ v_m $はcos信号のピーク値です。
最初に、搬送波のパワー、上側波帯と下側波帯を1つずつ見つけましょう。
キャリア電力
P_c = \ frac \ {\ left（A_c/\ sqrt \ {2} \ right）^ 2} \ {R} = \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2}} \ { 2R}
上側波帯電力
P _ \ {USB} = \ frac \ {\ left（A_c \ mu/2 \ sqrt \ {2} \ right）^ 2} \ {R} = \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2} \ {_ \ {\ mu}} ^ \ {2}} \ {8R}
同様に、上側波帯のパワーと同じ下側波帯のパワーを取得します。
P _ \ {LSB} = \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2} \ {_ \ {\ mu}} ^ \ {2}} \ {8R}
次に、AM波のパワーを得るために、これら3つのパワーを追加しましょう。
P_t = \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2}} \ {2R} + \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2} \ {_ \ {\ mu}} ^ \ {2}} \ {8R} + \ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2} \ {_ \ {\ mu}} ^ \ {2}} \ {8R}
\ Rightarrow P_t = \ left（\ frac \ {\ {A _ \ {c}} ^ \ {2}} \ {2R} \ right）\ left（1+ \ frac \ {\ mu ^ 2} \ { 4} + \ frac \ {\ mu ^ 2} \ {4} \ right）
\ Rightarrow P_t = P_c \ left（1+ \ frac \ {\ mu ^ 2} \ {2} \ right）
上記の式を使用して、搬送波電力と変調指数がわかっている場合にAM波の電力を計算できます。
変調指数$ \ mu = 1 $の場合、AM波の電力はキャリア電力の1.5倍に等しくなります。 したがって、AM波を送信するために必要な電力は、完全な変調に必要な搬送波電力の1.5倍です。
